数列$\{a_n\}$の階差数列を$\{b_n\}$とします。 (1) $\{a_n\}$が等比数列ならば、$\{b_n\}$もまた等比数列であることを示してください。 (2) $\{b_n\}$が等比数列であっても、$\{a_n\}$は等比数列とは限らないことを示してください。反例を挙げてください。

1. 問題の内容

数列$\{a_n\}$の階差数列を$\{b_n\}$とします。

(1) $\{a_n\}$が等比数列ならば、$\{b_n\}$もまた等比数列であることを示してください。

(2) $\{b_n\}$が等比数列であっても、$\{a_n\}$は等比数列とは限らないことを示してください。反例を挙げてください。

2. 解き方の手順

(1) $\{a_n\}$が等比数列であるとき、ある定数$r$が存在し、$a_n = a_1 r^{n-1}$と表すことができます。ただし、$a_1$は初項です。

階差数列$\{b_n\}$は、$b_n = a_{n+1} - a_n$で定義されます。したがって、

$b_n = a_{n+1} - a_n = a_1 r^n - a_1 r^{n-1} = a_1 r^{n-1}(r-1)$.

$r$が1でないとき、$b_n = a_1 (r-1)r^{n-1}$. したがって、$\{b_n\}$は初項$a_1(r-1)$、公比$r$の等比数列です。

$r=1$のとき、$a_n = a_1$となり、数列は定数数列になります。すると、$b_n = a_{n+1} - a_n = a_1 - a_1 = 0$となるため、$b_n = 0$となり、これも等比数列です。

(2) $\{b_n\}$が等比数列であるとき、$\{a_n\}$が必ずしも等比数列とならない例を挙げます。

例えば、$\{b_n\} = \{1, 2, 4, 8, ...\}$とします。このとき、$b_n = 2^{n-1}$です。

$\{a_n\}$の初項を$a_1 = 1$とすると、

$a_2 = a_1 + b_1 = 1 + 1 = 2$

$a_3 = a_2 + b_2 = 2 + 2 = 4$

$a_4 = a_3 + b_3 = 4 + 4 = 8$

$a_5 = a_4 + b_4 = 8 + 8 = 16$

したがって、$\{a_n\} = \{1, 2, 4, 8, 16, ...\}$となります。

この数列$\{a_n\}$は、$a_n = 2^{n-1}$で与えられ、等比数列となります。

しかし、別の例として、$\{b_n\} = \{1, 2, 4, 8, ...\}$を同じく考え、$a_1 = 0$とします。すると、

$a_2 = a_1 + b_1 = 0 + 1 = 1$

$a_3 = a_2 + b_2 = 1 + 2 = 3$

$a_4 = a_3 + b_3 = 3 + 4 = 7$

$a_5 = a_4 + b_4 = 7 + 8 = 15$

したがって、$\{a_n\} = \{0, 1, 3, 7, 15, ...\}$となります。

この数列は$a_n = 2^{n-1} - 1$で表されます。この数列は等比数列ではありません。なぜなら、$a_1 = 0, a_2 = 1, a_3 = 3$なので、$a_2 / a_1$が定義できず、$a_3/a_2 = 3$ですが、$a_4/a_3 = 7/3$となるため、公比が一定ではありません。

3. 最終的な答え

(1) $\{a_n\}$が等比数列ならば、$\{b_n\}$も等比数列である。（証明は上記参照）

(2) $\{b_n\}$が等比数列であっても、$\{a_n\}$が等比数列とは限らない。

反例：$\{b_n\} = \{2^{n-1}\}, a_1 = 0$のとき、$\{a_n\} = \{2^{n-1} - 1\}$となり、これは等比数列ではない。