不等式 $ax + 1 > x + a^2$ を解く問題です。ただし、$a$ は定数です。

1. 問題の内容

不等式 $ax + 1 > x + a^2$ を解く問題です。ただし、$a$ は定数です。

2. 解き方の手順

まず、$x$の項を左辺に、定数項を右辺に集めます。

$ax - x > a^2 - 1$

左辺を$x$でくくります。

$(a - 1)x > a^2 - 1$

$a^2 - 1$を因数分解します。

$(a - 1)x > (a - 1)(a + 1)$

次に、$a$の値によって場合分けを行います。

(i) $a - 1 > 0$ つまり $a > 1$ のとき

不等式の両辺を$a - 1$で割ると、$a - 1 > 0$なので不等号の向きは変わりません。

$x > \frac{(a - 1)(a + 1)}{a - 1}$

$x > a + 1$

(ii) $a - 1 < 0$ つまり $a < 1$ のとき

不等式の両辺を$a - 1$で割ると、$a - 1 < 0$なので不等号の向きが変わります。

$x < \frac{(a - 1)(a + 1)}{a - 1}$

$x < a + 1$

(iii) $a - 1 = 0$ つまり $a = 1$ のとき

元の不等式に$a = 1$を代入すると

$x + 1 > x + 1$

$0 > 0$

これはどのような$x$に対しても成立しません。したがって解なし。

3. 最終的な答え

$a > 1$ のとき: $x > a + 1$

$a < 1$ のとき: $x < a + 1$

$a = 1$ のとき: 解なし