与えられた不等式 $|2x+1| \leq |2x-1| + x$ を満たす $x$ の範囲を求めます。

1. 問題の内容

与えられた不等式 $|2x+1| \leq |2x-1| + x$ を満たす $x$ の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

絶対値を含む不等式なので、場合分けをして考えます。

$2x+1$ と $2x-1$ の符号が変化する点である $x = -\frac{1}{2}$ と $x = \frac{1}{2}$ に注目し、以下の3つの場合に分けて考えます。

場合1: $x < -\frac{1}{2}$ のとき

$2x+1 < 0$ かつ $2x-1 < 0$ なので、絶対値を外すと不等式は次のようになります。

$-(2x+1) \leq -(2x-1) + x$

$-2x-1 \leq -2x+1 + x$

$-1 \leq 1 + x$

$x \geq -2$

この場合、$x < -\frac{1}{2}$ という条件があるので、$-2 \leq x < -\frac{1}{2}$ となります。

場合2: $-\frac{1}{2} \leq x < \frac{1}{2}$ のとき

$2x+1 \geq 0$ かつ $2x-1 < 0$ なので、絶対値を外すと不等式は次のようになります。

$2x+1 \leq -(2x-1) + x$

$2x+1 \leq -2x+1 + x$

$2x+1 \leq -x+1$

$3x \leq 0$

$x \leq 0$

この場合、$-\frac{1}{2} \leq x < \frac{1}{2}$ という条件があるので、$-\frac{1}{2} \leq x \leq 0$ となります。

場合3: $x \geq \frac{1}{2}$ のとき

$2x+1 > 0$ かつ $2x-1 \geq 0$ なので、絶対値を外すと不等式は次のようになります。

$2x+1 \leq 2x-1 + x$

$2x+1 \leq 3x-1$

$2 \leq x$

この場合、$x \geq \frac{1}{2}$ という条件があるので、$x \geq 2$ となります。

上記3つの場合を合わせると、$-2 \leq x \leq 0$ または $x \geq 2$ となります。

3. 最終的な答え

$-2 \leq x \leq 0$ または $x \geq 2$