与えられた4つの極限値を求める問題です。 (1) $\lim_{x \to 2} 3$ (2) $\lim_{x \to -1} (x^3 - 2x + 3)$ (3) $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1}$ (4) $\lim_{x \to 1} \frac{(\sqrt{x} - 1)^2}{(x - 1)^2}$

1. 問題の内容

与えられた4つの極限値を求める問題です。

(1) $\lim_{x \to 2} 3$

(2) $\lim_{x \to -1} (x^3 - 2x + 3)$

(3) $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1}$

(4) $\lim_{x \to 1} \frac{(\sqrt{x} - 1)^2}{(x - 1)^2}$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x \to 2} 3$

定数の極限は定数そのものです。

$\lim_{x \to 2} 3 = 3$

(2) $\lim_{x \to -1} (x^3 - 2x + 3)$

多項式の極限は、xに値を代入するだけです。

$(-1)^3 - 2(-1) + 3 = -1 + 2 + 3 = 4$

(3) $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1}$

$x^2 - 1$を因数分解します。

$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$

したがって、

$\frac{x^2 - 1}{x - 1} = \frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} = x + 1$

$\lim_{x \to 1} (x + 1) = 1 + 1 = 2$

(4) $\lim_{x \to 1} \frac{(\sqrt{x} - 1)^2}{(x - 1)^2}$

$\lim_{x \to 1} \frac{(\sqrt{x} - 1)^2}{(x - 1)^2} = \lim_{x \to 1} \left( \frac{\sqrt{x} - 1}{x - 1} \right)^2$

$x - 1 = (\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)$なので、

$\frac{\sqrt{x} - 1}{x - 1} = \frac{\sqrt{x} - 1}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} = \frac{1}{\sqrt{x} + 1}$

$\lim_{x \to 1} \frac{1}{\sqrt{x} + 1} = \frac{1}{\sqrt{1} + 1} = \frac{1}{2}$

$\lim_{x \to 1} \left( \frac{\sqrt{x} - 1}{x - 1} \right)^2 = \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{4}$

3. 最終的な答え

(1) 3

(2) 4

(3) 2

(4) $\frac{1}{4}$