4人で1回だけじゃんけんをする。あいこになった場合も1回と数える。 (1) 1人が勝つ確率を求めよ。 (2) あいこになる確率を求めよ。 (3) 勝つ人数の期待値を求めよ。

1. 問題の内容

4人で1回だけじゃんけんをする。あいこになった場合も1回と数える。

(1) 1人が勝つ確率を求めよ。

(2) あいこになる確率を求めよ。

(3) 勝つ人数の期待値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 1人が勝つ確率

4人のじゃんけんの場合の総数は、$3^4 = 81$通り。

1人が勝つ場合、誰が勝つかで4通り。

勝ち手は、グー、チョキ、パーの3通り。

残りの3人は負ける必要があり、その出し方は1通りに決まる。

よって、1人が勝つ場合の数は、$4 \times 3 \times 1 = 12$通り。

したがって、1人が勝つ確率は、$12/81 = 4/27$。

(2) あいこになる確率

あいこになるのは、全員の手が同じ場合と、3種類の手が出た場合、2種類の手が出た場合がある。

全員の手が同じ場合は3通り。

3種類の手が出る場合：

どの3種類の手が出るか：$3C3 = 1$通り

4人の手の出し方：例えば、グー、チョキ、パーの時、$4! / 2! = 12$通り。

しかし、その中に1人勝ちが含まれているので、それを除く必要がある。ここでは直接考える方が早い。

3種類の手が出た場合の総数は36通り。

2種類の手が出る場合：

2種類の手の組み合わせは $3C2=3$ 通り。

それぞれの手を出す人数を決めると、(1,3)か(2,2)の組み合わせ。

(1,3)のとき、$3C2 * (4C1+4C3)=3*8 = 24通り

(2,2)のとき、$3C2 * (4C2)=3*6 = 18通り

しかし、これは考えるのが複雑なので、余事象を考える。

全体から1人勝ち、2人勝ち、3人勝ちの場合を引く。

1人勝ち：$12/81$ (1)より

2人勝ち：$3C2 * 3 * 2 * 1 / 81 = 18/81$

3人勝ち：$3C3 * 3 * 1 * 1 / 81 = 3/81$

あいこになる確率は、$1 - 12/81 - 18/81 - 3/81 = 48/81 = 16/27$

別の解き方として、あいこになるのは、全員の手が同じ(3通り)か、3種類の手が出た場合(36通り)か、全員がバラバラの手を出す場合。

全員がバラバラの手を出す場合、$4!/3=8 *3 = 24$通りではない。

あいこになるのは、全員同じ、または、2種類以上の手が出る時。

全員同じ：3通り

2種類の手：48通り

3種類の手：36通り

3+48+36=81

したがって、あいこになるのは、$16/27$

(3) 勝つ人数の期待値

1人が勝つ確率：$4/27$

2人が勝つ確率：$2 * 3C2 * 3 / 81 = 18/81 = 2/9$

3人が勝つ確率：$3/81 = 1/27$

勝つ人数の期待値：$1 * (12/81) + 2 * (18/81) + 3 * (3/81) = (12+36+9)/81 = 57/81 = 19/27$

3. 最終的な答え

(1) 1人が勝つ確率：$4/27$

(2) あいこになる確率：$16/27$

(3) 勝つ人数の期待値：$19/27$