AとBの2つのチームが対戦し、先に3勝したチームが優勝する。1回の試合でAが勝つ確率は $\frac{1}{3}$ である。引き分けはなく、必ずAまたはBのどちらかが勝つ。 (1) 4試合で優勝が決まる確率を求めよ。 (2) Aが優勝する確率を求めよ。

1. 問題の内容

AとBの2つのチームが対戦し、先に3勝したチームが優勝する。1回の試合でAが勝つ確率は $\frac{1}{3}$ である。引き分けはなく、必ずAまたはBのどちらかが勝つ。

(1) 4試合で優勝が決まる確率を求めよ。

(2) Aが優勝する確率を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 4試合で優勝が決まるのは、3勝1敗の場合である。

Aが優勝する場合とBが優勝する場合がある。

Aが4試合で優勝する場合: 3勝1敗で、4試合目にAが勝つ必要がある。つまり、最初の3試合でAが2勝1敗となる必要がある。この確率は

$\binom{3}{2} (\frac{1}{3})^2 (\frac{2}{3})^1 (\frac{1}{3}) = 3 \times \frac{1}{9} \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{6}{81} = \frac{2}{27}$

Bが4試合で優勝する場合: 3勝1敗で、4試合目にBが勝つ必要がある。つまり、最初の3試合でBが2勝1敗となる必要がある。Bが1試合で勝つ確率は $\frac{2}{3}$である。この確率は

$\binom{3}{2} (\frac{2}{3})^2 (\frac{1}{3})^1 (\frac{2}{3}) = 3 \times \frac{4}{9} \times \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{24}{81} = \frac{8}{27}$

したがって、4試合で優勝が決まる確率は

$\frac{2}{27} + \frac{8}{27} = \frac{10}{27}$

(2) Aが優勝する確率を求める。Aが優勝するのは、3試合で優勝する場合、4試合で優勝する場合、5試合で優勝する場合である。

3試合で優勝する場合：AAAとAが3連勝する場合。確率は $(\frac{1}{3})^3 = \frac{1}{27}$

4試合で優勝する場合：AA[BA]A, A[BA]AA, [BA]AAA. つまり、最初の3試合でAが2勝1敗し、4試合目にAが勝つ場合。確率は$\binom{3}{2} (\frac{1}{3})^2 (\frac{2}{3}) (\frac{1}{3}) = 3 \times \frac{1}{9} \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{6}{81} = \frac{2}{27}$

5試合で優勝する場合：最初の4試合でAが2勝2敗し、5試合目にAが勝つ場合。確率は$\binom{4}{2} (\frac{1}{3})^2 (\frac{2}{3})^2 (\frac{1}{3}) = 6 \times \frac{1}{9} \times \frac{4}{9} \times \frac{1}{3} = \frac{24}{243} = \frac{8}{81}$

Aが優勝する確率は

$\frac{1}{27} + \frac{2}{27} + \frac{8}{81} = \frac{3}{81} + \frac{6}{81} + \frac{8}{81} = \frac{17}{81}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{10}{27}$

(2) $\frac{17}{81}$