与えられた二重積分 $\int_{0}^{3}\left(\int_{0}^{2}(x+y) \, dx\right) dy$ を計算する。

1. 問題の内容

与えられた二重積分 $\int_{0}^{3}\left(\int_{0}^{2}(x+y) \, dx\right) dy$ を計算する。

2. 解き方の手順

まず、内側の積分 $\int_{0}^{2}(x+y) \, dx$ を計算する。

$x$ で積分すると、

$$\int_{0}^{2}(x+y) \, dx = \left[\frac{x^2}{2} + xy\right]_{0}^{2} = \left(\frac{2^2}{2} + 2y\right) - \left(\frac{0^2}{2} + 0\cdot y\right) = 2 + 2y$$

次に、この結果を外側の積分 $\int_{0}^{3}(2 + 2y) \, dy$ に代入して計算する。

$y$ で積分すると、

$$\int_{0}^{3}(2 + 2y) \, dy = \left[2y + y^2\right]_{0}^{3} = (2\cdot 3 + 3^2) - (2\cdot 0 + 0^2) = 6 + 9 = 15$$

3. 最終的な答え

15