関数 $f(x) = -x^2 + 6x - 4$ の区間 $a \le x \le a+1$ における最大値を $M(a)$ とする。$a$ の値によって $M(a)$ がどのように変化するかを求める問題です。具体的には、ある定数ア、イ、ウ、エ、オ、カ、キを求めて、$M(a)$ を場合分けして表現します。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = -x^2 + 6x - 4$ の区間 $a \le x \le a+1$ における最大値を $M(a)$ とする。$a$ の値によって $M(a)$ がどのように変化するかを求める問題です。具体的には、ある定数ア、イ、ウ、エ、オ、カ、キを求めて、$M(a)$ を場合分けして表現します。

2. 解き方の手順

まず、関数 $f(x)$ を平方完成します。

$f(x) = -(x^2 - 6x) - 4 = -(x^2 - 6x + 9 - 9) - 4 = -(x - 3)^2 + 9 - 4 = -(x - 3)^2 + 5$

したがって、$f(x)$ は $x = 3$ で最大値 5 をとる上に凸の放物線です。

区間 $a \le x \le a+1$ の位置関係によって最大値の取り方が変わります。場合分けして考えます。

(i) $a+1 < 3$ つまり $a < 2$ のとき

区間は $x = 3$ より左側にあり、$x = a$ で最大値をとります。

$M(a) = f(a) = -a^2 + 6a - 4$

(ii) $a \le 3 \le a+1$ つまり $2 \le a \le 3$ のとき

区間内に $x = 3$ が含まれるため、$x = 3$ で最大値 5 をとります。

$M(a) = 5$

(iii) $3 < a$ のとき

区間は $x = 3$ より右側にあり、$x = a+1$ で最大値をとります。

$M(a) = f(a+1) = -(a+1)^2 + 6(a+1) - 4 = -(a^2 + 2a + 1) + 6a + 6 - 4 = -a^2 + 4a + 1$

したがって、

$a < 2$ のとき $M(a) = -a^2 + 6a - 4$

$2 \le a \le 3$ のとき $M(a) = 5$

$3 < a$ のとき $M(a) = -a^2 + 4a + 1$

これより、ア=2, イ=6, ウ=-4, エ=3, オ=5, カ=4, キ=-1 (カの符号に注意)

3. 最終的な答え

ア: 2

イ: 6

ウ: -4

エ: 3

オ: 5

カ: 4

キ: -1