$\lim_{x \to 0} \left(\frac{1}{1-e^x} - \frac{1}{\sin x}\right)$ を計算してください。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 0} \left(\frac{1}{1-e^x} - \frac{1}{\sin x}\right)$ を計算してください。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を通分します。

$\lim_{x \to 0} \left(\frac{1}{1-e^x} - \frac{1}{\sin x}\right) = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x - (1-e^x)}{(1-e^x)\sin x}$

次に、分子と分母をそれぞれテイラー展開します。

$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots$

$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$

したがって、

$1 - e^x = -x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{6} - \cdots$

$\sin x - (1-e^x) = (x - \frac{x^3}{6} + \cdots) - (-x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{6} - \cdots) = 2x + \frac{x^2}{2} + O(x^3)$

$(1 - e^x) \sin x = (-x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{6} - \cdots)(x - \frac{x^3}{6} + \cdots) = -x^2 - \frac{x^3}{2} + O(x^4)$

与えられた極限は次のようになります。

$\lim_{x \to 0} \frac{2x + \frac{x^2}{2} + O(x^3)}{-x^2 - \frac{x^3}{2} + O(x^4)} = \lim_{x \to 0} \frac{2 + \frac{x}{2} + O(x^2)}{-x - \frac{x^2}{2} + O(x^3)}$

$x \to 0$のとき、分子は2に近づき、分母は0に近づきます。したがって、極限は存在しません。

しかし、計算ミスがないか確認します。ロピタルの定理を使ってみましょう。

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - 1 + e^x}{(1-e^x)\sin x}$ は $\frac{0}{0}$ の不定形です。

分子を微分すると $\cos x + e^x$ になり、分母を微分すると $-e^x \sin x + (1-e^x) \cos x$ になります。

$\lim_{x \to 0} \frac{\cos x + e^x}{-e^x \sin x + (1-e^x) \cos x} = \frac{1+1}{0+(1-1)\cdot 1} = \frac{2}{0}$

分子を2回微分すると $-\sin x + e^x$ になり、分母を2回微分すると $-e^x \sin x -e^x \cos x - e^x \cos x + (1-e^x) (-\sin x) = -e^x \sin x - 2e^x \cos x - \sin x + e^x \sin x = -2e^x \cos x - \sin x$ になります。

$\lim_{x \to 0} \frac{-\sin x + e^x}{-2e^x \cos x - \sin x} = \frac{0+1}{-2-0} = -\frac{1}{2}$.

3. 最終的な答え

$-\frac{1}{2}$