関数 $x^{\cos(x^2)}$ を微分する問題です。

1. 問題の内容

関数 $x^{\cos(x^2)}$ を微分する問題です。

2. 解き方の手順

$y = x^{\cos(x^2)}$ と置きます。

両辺の自然対数を取ると、

$\ln y = \cos(x^2) \ln x$

両辺を $x$ で微分します。左辺は連鎖律（chain rule）を使って微分します。右辺は積の微分法を使います。

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} [\cos(x^2) \ln x]$

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}[\cos(x^2)] \cdot \ln x + \cos(x^2) \cdot \frac{d}{dx}[\ln x]$

$\frac{d}{dx}[\cos(x^2)]$ を計算します。連鎖律を使うと、$\frac{d}{dx}[\cos(x^2)] = -\sin(x^2) \cdot \frac{d}{dx}[x^2] = -\sin(x^2) \cdot 2x = -2x \sin(x^2)$

$\frac{d}{dx}[\ln x] = \frac{1}{x}$

これらを代入して、

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = -2x \sin(x^2) \ln x + \cos(x^2) \cdot \frac{1}{x}$

$\frac{dy}{dx} = y \left( -2x \sin(x^2) \ln x + \frac{\cos(x^2)}{x} \right)$

$y = x^{\cos(x^2)}$ を代入します。

$\frac{dy}{dx} = x^{\cos(x^2)} \left( -2x \sin(x^2) \ln x + \frac{\cos(x^2)}{x} \right)$

$\frac{dy}{dx} = x^{\cos(x^2)} \left( \frac{\cos(x^2)}{x} - 2x \ln(x) \sin(x^2) \right)$

3. 最終的な答え

$\frac{d}{dx} \left( x^{\cos(x^2)} \right) = x^{\cos(x^2)} \left( \frac{\cos(x^2)}{x} - 2x \ln(x) \sin(x^2) \right)$