領域 $R = \{ (x, y) \mid 0 \leq x \leq 1, 1 \leq y \leq 2 \}$ において、重積分 $\iint_R x^2 y \,dx\,dy$ を、$x$ について積分した後、$y$ について積分して求めます。

1. 問題の内容

領域 $R = \{ (x, y) \mid 0 \leq x \leq 1, 1 \leq y \leq 2 \}$ において、重積分 $\iint_R x^2 y \,dx\,dy$ を、$x$ について積分した後、$y$ について積分して求めます。

2. 解き方の手順

まず、$x$ について積分を行います。

$\int_0^1 x^2 y \,dx = y \int_0^1 x^2 \,dx$

$\int_0^1 x^2 \,dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{1}{3}$

したがって、

$\int_0^1 x^2 y \,dx = \frac{1}{3} y$

次に、$y$ について積分を行います。

$\int_1^2 \frac{1}{3} y \,dy = \frac{1}{3} \int_1^2 y \,dy$

$\int_1^2 y \,dy = \left[ \frac{y^2}{2} \right]_1^2 = \frac{2^2}{2} - \frac{1^2}{2} = \frac{4}{2} - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$

したがって、

$\int_1^2 \frac{1}{3} y \,dy = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$\iint_R x^2 y \,dx\,dy = \frac{1}{2}$