50人にaとbの2問のクイズを出題したところ、aを正解した人は27人、bを正解した人は13人、a, bともに正解した人は4人いた。以下の人数を求めます。 (1) aとbの少なくとも一方を正解した人 (2) aもbも正解しなかった人 (3) aは正解したが、bは正解しなかった人

1. 問題の内容

50人にaとbの2問のクイズを出題したところ、aを正解した人は27人、bを正解した人は13人、a, bともに正解した人は4人いた。以下の人数を求めます。

(1) aとbの少なくとも一方を正解した人

(2) aもbも正解しなかった人

(3) aは正解したが、bは正解しなかった人

2. 解き方の手順

(1) aとbの少なくとも一方を正解した人

これはaを正解した人の集合とbを正解した人の集合の和集合の要素の数を求めればよいです。

和集合の要素の数は、それぞれの集合の要素の数を足し合わせて、共通部分の要素の数を引けば求められます。

$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$

問題文より、$n(A)=27$, $n(B)=13$, $n(A \cap B)=4$ なので、

$n(A \cup B) = 27 + 13 - 4 = 36$

(2) aもbも正解しなかった人

これは全体からaとbの少なくとも一方を正解した人を引けば求められます。

全体の人数は50人なので、$50 - 36 = 14$

(3) aは正解したが、bは正解しなかった人

これはaを正解した人の集合からaもbも正解した人の集合を引けば求められます。

$n(A \cap \overline{B}) = n(A) - n(A \cap B) = 27 - 4 = 23$

3. 最終的な答え

(1) 36人

(2) 14人

(3) 23人