60人の生徒に対して2種類の本a, bを読んだことがあるか調査した結果、aを読んだ生徒は30人、bを読んだ生徒は50人、aもbも読んでいない生徒は8人だった。以下の人数を求める。 (1) aとbの少なくとも一方を読んだ生徒の人数 (2) 2種類とも読んだ生徒の人数 (3) bは読んだが、aは読んでいない生徒の人数

1. 問題の内容

60人の生徒に対して2種類の本a, bを読んだことがあるか調査した結果、aを読んだ生徒は30人、bを読んだ生徒は50人、aもbも読んでいない生徒は8人だった。以下の人数を求める。

(1) aとbの少なくとも一方を読んだ生徒の人数

(2) 2種類とも読んだ生徒の人数

(3) bは読んだが、aは読んでいない生徒の人数

2. 解き方の手順

(1) aとbの少なくとも一方を読んだ生徒の人数

全体からaもbも読んでいない生徒の人数を引けば良い。

$60 - 8 = 52$

(2) 2種類とも読んだ生徒の人数

aを読んだ生徒の数とbを読んだ生徒の数を足すと、両方読んだ生徒の数が重複して数えられている。

aとbの少なくとも一方を読んだ生徒の数は、aを読んだ生徒の数とbを読んだ生徒の数を足し、両方読んだ生徒の数を引いたものと等しい。

$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$

ここで、$n(A \cup B) = 52$ (aとbの少なくとも一方を読んだ生徒の数)、$n(A) = 30$ (aを読んだ生徒の数)、$n(B) = 50$ (bを読んだ生徒の数)である。

$52 = 30 + 50 - n(A \cap B)$

$n(A \cap B) = 30 + 50 - 52$

$n(A \cap B) = 80 - 52 = 28$

2種類とも読んだ生徒は28人。

(3) bは読んだが、aは読んでいない生徒の人数

bを読んだ生徒の数から、aもbも読んだ生徒の数を引けば良い。

$n(B \cap A^c) = n(B) - n(A \cap B)$

$n(B \cap A^c) = 50 - 28 = 22$

bは読んだが、aは読んでいない生徒は22人。

3. 最終的な答え

(1) aとbの少なくとも一方を読んだ生徒: 52人

(2) 2種類とも読んだ生徒: 28人

(3) bは読んだが、aは読んでいない生徒: 22人