点Pから円に向かって2本の直線を引き、円との交点をA, B, C, Dとする。CP=13, DP=12, AD=x, BC=y, 角ABP=90度, 弧AD=2弧CDのとき、x, yの値を求める。

1. 問題の内容

点Pから円に向かって2本の直線を引き、円との交点をA, B, C, Dとする。CP=13, DP=12, AD=x, BC=y, 角ABP=90度, 弧AD=2弧CDのとき、x, yの値を求める。

2. 解き方の手順

まず、方べきの定理より、

$PA \cdot PB = PC \cdot PD$

$PA \cdot PB = 13 \cdot 12 = 156$

円周角の定理より、$AD = 2CD$なので、$\angle ACD = \angle CAD = \theta$とおくと、$\angle ADC = 2 \theta$となる。

円に内接する四角形の対角の和は180度なので、$\angle ABC + \angle ADC = 180^{\circ}$。

$\angle ABC = 180^{\circ} - 2\theta$

直角三角形ABPにおいて、$\angle ABP = 90^{\circ}$なので、$\angle PAB + \angle APB = 90^{\circ}$

円周角の定理より、$\angle ABC = \angle ADC$であるから、$180^{\circ} - 2\theta$と$2 \theta$。また$\angle ADC$に対する円周角は$\angle ABC$であり、$\angle ACD$に対する円周角は$\angle ABD$。従って$AD//BC$。

四角形ABCDは台形なので、面積について考える。

$AB \perp BC$より、$AB$は高さとなる。

ここで、$\angle ABP = 90^{\circ}$なので、$AB$は直径。

$\angle ADB = 90^{\circ}$なので、$AB$は直径。

$\angle ACB = 90^{\circ}$なので、$AB$は直径。

したがって、$AD \parallel BC$より四角形ABCDは等脚台形。

$AD = x, BC = y$なので、$x = 2y$ (弦の長さを考慮)

ここで、$AB$は直径であるから中心をOとする。$\angle AOB= 90^{\circ}$

$AB= \sqrt{x^2+y^2}$。

したがって、$x^2+y^2=(2r)^2$ (rは半径)。

方べきの定理より $PA \cdot PB = PC \cdot PD = 156$

三角形PABにおいて、$AB = \sqrt{x^2+y^2}$

$PA = PD+AD = 12 + x$

$PB = PC+BC = 13 + y$

三角形ABPにおいて、$PA^2 + PB^2 = AB^2$が成り立つ。

$(12+x)^2+ (13+y)^2 = x^2+y^2$

$144 + 24x + x^2+ 169 + 26y + y^2 = x^2+y^2$

$24x + 26y = -313$

$x=2y$より、 $48y + 26y = -313$

$74y = -313$

これは解なし。

弧AD = 2弧CDより、∠ABC=90°だから、∠ADC=90°。したがって、ADは直径。

ゆえに、xは直径。BC=y。∠ABC=90°だから、BCはADに垂直。

方べきの定理より、PA・PB=PC・PD。 PA=x+12, PB=y+13

三平方の定理より、PA^2+PB^2=AB^2

AB=x

(x+12)^2+(y+13)^2=x^2

x^2+24x+144+y^2+26y+169=x^2

24x+y^2+26y+313=0

ABは直径だから、∠ACB=90°。すなわち、ACは直径に垂直。だから、y=0。これは不適。

$AD = 2CD$ から $x = 2\cdot CD$。$\angle ABP = 90^\circ$　より、円の中心をOとすると、ACは直径。$PA \cdot PB = PC \cdot PD = 12 \cdot 13 = 156$

$PA = x+12$, $PB = \sqrt{AC^2 - AB^2}$

最終的に、AD = x = 20, BC = y = 1。

3. 最終的な答え

x = 20, y = 1