5人の生徒の小テストA, Bの得点が与えられています。AとBの得点の間に正の相関があるか、負の相関があるかを、相関係数 $r$ を計算して調べる問題です。

1. 問題の内容

5人の生徒の小テストA, Bの得点が与えられています。AとBの得点の間に正の相関があるか、負の相関があるかを、相関係数 $r$ を計算して調べる問題です。

2. 解き方の手順

まず、AとBそれぞれの平均値を計算します。

Aの平均値 $\bar{x}$ は、

$\bar{x} = \frac{7+5+9+6+3}{5} = \frac{30}{5} = 6$

Bの平均値 $\bar{y}$ は、

$\bar{y} = \frac{6+7+8+10+4}{5} = \frac{35}{5} = 7$

次に、AとBの標準偏差を計算します。

Aの標準偏差 $s_x$ は、

$s_x = \sqrt{\frac{(7-6)^2 + (5-6)^2 + (9-6)^2 + (6-6)^2 + (3-6)^2}{5}} = \sqrt{\frac{1+1+9+0+9}{5}} = \sqrt{\frac{20}{5}} = \sqrt{4} = 2$

Bの標準偏差 $s_y$ は、

$s_y = \sqrt{\frac{(6-7)^2 + (7-7)^2 + (8-7)^2 + (10-7)^2 + (4-7)^2}{5}} = \sqrt{\frac{1+0+1+9+9}{5}} = \sqrt{\frac{20}{5}} = \sqrt{4} = 2$

次に、AとBの共分散を計算します。

AとBの共分散 $s_{xy}$ は、

$s_{xy} = \frac{(7-6)(6-7) + (5-6)(7-7) + (9-6)(8-7) + (6-6)(10-7) + (3-6)(4-7)}{5} = \frac{(1)(-1) + (-1)(0) + (3)(1) + (0)(3) + (-3)(-3)}{5} = \frac{-1+0+3+0+9}{5} = \frac{11}{5} = 2.2$

最後に、相関係数 $r$ を計算します。

相関係数 $r$ は、

$r = \frac{s_{xy}}{s_x s_y} = \frac{2.2}{2 \cdot 2} = \frac{2.2}{4} = 0.55$

3. 最終的な答え

相関係数 $r = 0.55$ であり、$r > 0$ なので、正の相関がある。