海外旅行者100人のうち、75人が風邪薬を、80人が胃薬を携帯していた。このとき、以下の問いに答える。 (1) 風邪薬と胃薬を両方とも携帯した人は最も多くて何人か。また、最も少なくて何人か。 (2) 風邪薬と胃薬を両方とも携帯していない人は何人か。

1. 問題の内容

海外旅行者100人のうち、75人が風邪薬を、80人が胃薬を携帯していた。このとき、以下の問いに答える。

(1) 風邪薬と胃薬を両方とも携帯した人は最も多くて何人か。また、最も少なくて何人か。

(2) 風邪薬と胃薬を両方とも携帯していない人は何人か。

2. 解き方の手順

(1)

風邪薬を携帯した人の集合をA, 胃薬を携帯した人の集合をBとする。

全体の人数をUとすると、$U = 100$, $n(A) = 75$, $n(B) = 80$。

$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$

$n(A \cap B) = n(A) + n(B) - n(A \cup B)$

$n(A \cap B)$が最大となるのは、$A \cup B$が最小となるとき。$A \cup B$の最小値は80なので、

$n(A \cap B) = 75 + 80 - 80 = 75$

$n(A \cap B)$が最小となるのは、$A \cup B$が最大となるとき。$A \cup B$の最大値は100なので、

$n(A \cap B) = 75 + 80 - 100 = 55$

(2)

風邪薬と胃薬を両方とも携帯していない人の人数は、

$n(\overline{A \cup B}) = U - n(A \cup B)$

$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) = 75 + 80 - n(A \cap B)$

$n(A \cap B)$が最大の場合、$n(A \cap B) = 75$なので、$n(A \cup B) = 75 + 80 - 75 = 80$

このとき、$n(\overline{A \cup B}) = 100 - 80 = 20$

$n(A \cap B)$が最小の場合、$n(A \cap B) = 55$なので、$n(A \cup B) = 75 + 80 - 55 = 100$

このとき、$n(\overline{A \cup B}) = 100 - 100 = 0$

したがって、風邪薬と胃薬を両方とも携帯していない人は、0人から20人である。

3. 最終的な答え

(1) 最も多い人数: 75人、最も少ない人数: 55人

(2) 0人から20人