三角形ABCにおいて、$a = \sqrt{5}$、$b = \sqrt{2}$、そして$A = 45^\circ$が与えられているとき、$c$の値を求める問題です。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$a = \sqrt{5}$、$b = \sqrt{2}$、そして$A = 45^\circ$が与えられているとき、$c$の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

余弦定理を利用して$c$を求めます。余弦定理は以下のように表されます。

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$

与えられた値を代入すると、

$(\sqrt{5})^2 = (\sqrt{2})^2 + c^2 - 2(\sqrt{2})c \cos 45^\circ$

$\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$なので、

$5 = 2 + c^2 - 2(\sqrt{2})c \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$5 = 2 + c^2 - 2c$

これを整理すると、$c$に関する二次方程式が得られます。

$c^2 - 2c - 3 = 0$

この二次方程式を解きます。

$(c-3)(c+1) = 0$

したがって、$c = 3$ または $c = -1$となります。

$c$は三角形の辺の長さなので、$c > 0$でなければなりません。

よって、$c = 3$が解となります。

3. 最終的な答え

$c = 3$