(1) ベクトル $\vec{a} = (2, 1)$ に垂直で、大きさが $\sqrt{5}$ であるベクトルを求める。 (2) ベクトル $\vec{a} = (-4, 3)$ に垂直な単位ベクトルを求める。

1. 問題の内容

(1) ベクトル $\vec{a} = (2, 1)$ に垂直で、大きさが $\sqrt{5}$ であるベクトルを求める。

(2) ベクトル $\vec{a} = (-4, 3)$ に垂直な単位ベクトルを求める。

2. 解き方の手順

(1)

ベクトル $\vec{v} = (x, y)$ が $\vec{a} = (2, 1)$ に垂直であるとき、内積は0になる。

$\vec{a} \cdot \vec{v} = 2x + y = 0$

よって、$y = -2x$

$\vec{v} = (x, -2x)$ と表せる。

$\vec{v}$ の大きさは $\sqrt{5}$ なので、

$\sqrt{x^2 + (-2x)^2} = \sqrt{5}$

$\sqrt{x^2 + 4x^2} = \sqrt{5}$

$\sqrt{5x^2} = \sqrt{5}$

$5x^2 = 5$

$x^2 = 1$

$x = \pm 1$

$x = 1$ のとき、$y = -2$

$x = -1$ のとき、$y = 2$

よって、求めるベクトルは $(1, -2)$ と $(-1, 2)$.

(2)

ベクトル $\vec{v} = (x, y)$ が $\vec{a} = (-4, 3)$ に垂直であるとき、内積は0になる。

$\vec{a} \cdot \vec{v} = -4x + 3y = 0$

$3y = 4x$

$y = \frac{4}{3}x$

$\vec{v} = (x, \frac{4}{3}x)$ と表せる。

$\vec{v}$ は単位ベクトルなので、大きさは1である。

$\sqrt{x^2 + (\frac{4}{3}x)^2} = 1$

$\sqrt{x^2 + \frac{16}{9}x^2} = 1$

$\sqrt{\frac{9x^2 + 16x^2}{9}} = 1$

$\sqrt{\frac{25x^2}{9}} = 1$

$\frac{5}{3} |x| = 1$

$|x| = \frac{3}{5}$

$x = \pm \frac{3}{5}$

$x = \frac{3}{5}$ のとき、$y = \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{5} = \frac{4}{5}$

$x = -\frac{3}{5}$ のとき、$y = \frac{4}{3} \cdot (-\frac{3}{5}) = -\frac{4}{5}$

よって、求めるベクトルは $(\frac{3}{5}, \frac{4}{5})$ と $(-\frac{3}{5}, -\frac{4}{5})$

3. 最終的な答え

(1) $(1, -2), (-1, 2)$

(2) $(\frac{3}{5}, \frac{4}{5}), (-\frac{3}{5}, -\frac{4}{5})$