50人の生徒が数学、英語、国語のテストを受けた。数学の合格者は30人、英語の合格者は27人、国語の合格者は33人。数学と英語の両方に合格した人は10人、英語と国語の両方に合格した人は18人、国語と数学の両方に合格した人は15人。3科目とも不合格だった生徒はいないとき、以下の人数を求める。 (1) 3科目とも合格した生徒の人数 (2) 数学だけ合格した生徒の人数

1. 問題の内容

50人の生徒が数学、英語、国語のテストを受けた。数学の合格者は30人、英語の合格者は27人、国語の合格者は33人。数学と英語の両方に合格した人は10人、英語と国語の両方に合格した人は18人、国語と数学の両方に合格した人は15人。3科目とも不合格だった生徒はいないとき、以下の人数を求める。

(1) 3科目とも合格した生徒の人数

(2) 数学だけ合格した生徒の人数

2. 解き方の手順

(1) 3科目とも合格した生徒の人数を求める。

まず、ベン図を描くことを考えます。

全体の人数は50人。

数学の合格者数を $A$、英語の合格者数を $B$、国語の合格者数を $C$ とします。

$n(A) = 30$

$n(B) = 27$

$n(C) = 33$

$n(A \cap B) = 10$

$n(B \cap C) = 18$

$n(C \cap A) = 15$

3科目とも不合格だった生徒はいないので、

$n(A \cup B \cup C) = 50$

包除原理より、

$n(A \cup B \cup C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A \cap B) - n(B \cap C) - n(C \cap A) + n(A \cap B \cap C)$

$50 = 30 + 27 + 33 - 10 - 18 - 15 + n(A \cap B \cap C)$

$50 = 90 - 43 + n(A \cap B \cap C)$

$50 = 47 + n(A \cap B \cap C)$

$n(A \cap B \cap C) = 50 - 47 = 3$

(2) 数学だけ合格した生徒の人数を求める。

数学のみ合格した人数 = 数学合格者数 - (数学と英語に合格した人数 - 3科目とも合格した人数) - (数学と国語に合格した人数 - 3科目とも合格した人数) - 3科目とも合格した人数

= $n(A) - (n(A \cap B) - n(A \cap B \cap C)) - (n(A \cap C) - n(A \cap B \cap C)) - n(A \cap B \cap C)$

= $30 - (10 - 3) - (15 - 3) - 3$

= $30 - 7 - 12 - 3 = 30 - 22 = 8$

3. 最終的な答え

(1) 3科目とも合格した生徒の人数: 3人

(2) 数学だけ合格した生徒の人数: 8人