正の奇数の列を、第 $n$ 群に $n$ 個の数が入るように群に分ける。 (1) $n \geq 2$ のとき、第 $n$ 群の最初の数を $n$ の式で表す。 (2) 第15群に入るすべての数の和 $S$ を求める。

1. 問題の内容

正の奇数の列を、第 $n$ 群に $n$ 個の数が入るように群に分ける。

(1) $n \geq 2$ のとき、第 $n$ 群の最初の数を $n$ の式で表す。

(2) 第15群に入るすべての数の和 $S$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) 第 $n$ 群の最初の数を求める。

まず、第 $n-1$ 群までの項数を求める。第 $k$ 群には $k$ 個の数が入るので、第 $n-1$ 群までの項数は、

$\sum_{k=1}^{n-1} k = \frac{(n-1)n}{2}$ 個となる。

したがって、第 $n$ 群の最初の数は、全体の数列の $(\frac{(n-1)n}{2} + 1)$ 番目の数となる。

正の奇数の列は、一般項が $2m - 1$ で表される数列である。

よって、第 $n$ 群の最初の数は、

$2(\frac{(n-1)n}{2} + 1) - 1 = (n-1)n + 2 - 1 = n^2 - n + 1$ となる。

これは $n=1$ のときも成り立つ。

(2) 第15群に入るすべての数の和 $S$ を求める。

第15群の最初の数は、(1)の結果から $15^2 - 15 + 1 = 225 - 15 + 1 = 211$ となる。

第15群には15個の数が入るので、第15群の最後の数は、

211, 213, 215, ... という等差数列の15番目の項である。

この数列の一般項は、 $a_k = 211 + 2(k-1)$ となる。

したがって、第15群の最後の数は $211 + 2(15-1) = 211 + 2(14) = 211 + 28 = 239$ となる。

第15群の和 $S$ は、初項211, 末項239, 項数15の等差数列の和であるから、

$S = \frac{15}{2} (211 + 239) = \frac{15}{2} (450) = 15 \cdot 225 = 3375$ となる。

3. 最終的な答え

(1) 第 $n$ 群の最初の数: $n^2 - n + 1$

(2) 第15群に入るすべての数の和 $S$: 3375