(1) 整数 $n$ に対して、$n^2$ が 5 の倍数ならば、$n$ は 5 の倍数であることを証明する。 (2) $\sqrt{5}$ が無理数であることを証明する。

1. 問題の内容

(1) 整数 $n$ に対して、$n^2$ が 5 の倍数ならば、$n$ は 5 の倍数であることを証明する。

(2) $\sqrt{5}$ が無理数であることを証明する。

2. 解き方の手順

(1) 対偶を証明する。つまり、「$n$ が 5 の倍数でないならば、$n^2$ は 5 の倍数でない」ことを示す。

$n$ が 5 の倍数でないとき、$n$ は $5k+1, 5k+2, 5k+3, 5k+4$ ($k$ は整数) のいずれかの形で表せる。それぞれの場合について、$n^2$ を計算し、5 の倍数でないことを示す。

(i) $n = 5k+1$ のとき、

$n^2 = (5k+1)^2 = 25k^2 + 10k + 1 = 5(5k^2 + 2k) + 1$

$5k^2 + 2k$ は整数なので、$n^2$ は 5 で割ると 1 余る。

(ii) $n = 5k+2$ のとき、

$n^2 = (5k+2)^2 = 25k^2 + 20k + 4 = 5(5k^2 + 4k) + 4$

$5k^2 + 4k$ は整数なので、$n^2$ は 5 で割ると 4 余る。

(iii) $n = 5k+3$ のとき、

$n^2 = (5k+3)^2 = 25k^2 + 30k + 9 = 5(5k^2 + 6k + 1) + 4$

$5k^2 + 6k + 1$ は整数なので、$n^2$ は 5 で割ると 4 余る。

(iv) $n = 5k+4$ のとき、

$n^2 = (5k+4)^2 = 25k^2 + 40k + 16 = 5(5k^2 + 8k + 3) + 1$

$5k^2 + 8k + 3$ は整数なので、$n^2$ は 5 で割ると 1 余る。

いずれの場合も、$n^2$ は 5 の倍数ではない。よって、対偶が示されたので、元の命題も真である。

(2) 背理法を用いる。$\sqrt{5}$ が有理数であると仮定すると、互いに素な整数 $m, n$ ($n \neq 0$) を用いて、$\sqrt{5} = \frac{m}{n}$ と表せる。

両辺を 2 乗すると、

$5 = \frac{m^2}{n^2}$

$5n^2 = m^2$

したがって、$m^2$ は 5 の倍数である。

(1) の結果より、$m$ も 5 の倍数である。

$m = 5k$ ($k$ は整数) とおくと、

$5n^2 = (5k)^2 = 25k^2$

$n^2 = 5k^2$

したがって、$n^2$ は 5 の倍数である。

(1) の結果より、$n$ も 5 の倍数である。

これは、$m$ と $n$ が互いに素であるという仮定に矛盾する。

よって、$\sqrt{5}$ は無理数である。

3. 最終的な答え

(1) 証明終了

(2) 証明終了