$\sqrt{5}$ が無理数であることを証明してください。

1. 問題の内容

$\sqrt{5}$ が無理数であることを証明してください。

2. 解き方の手順

$\sqrt{5}$ が無理数であることを背理法を用いて証明します。

まず、$\sqrt{5}$ が有理数であると仮定します。すると、互いに素な整数 $m$ と $n$ (ただし $n \neq 0$) を用いて、

$\sqrt{5} = \frac{m}{n}$

と表すことができます。

両辺を2乗すると、

$5 = \frac{m^2}{n^2}$

となります。

両辺に $n^2$ を掛けると、

$5n^2 = m^2$

となります。

この式から、$m^2$ は5の倍数であることがわかります。したがって、$m$ も5の倍数でなければなりません。なぜなら、$m$ が5の倍数でないならば、$m^2$ も5の倍数ではないからです。

そこで、$m = 5k$ ($k$ は整数) とおきます。これを $5n^2 = m^2$ に代入すると、

$5n^2 = (5k)^2$

$5n^2 = 25k^2$

となります。

両辺を5で割ると、

$n^2 = 5k^2$

となります。

この式から、$n^2$ は5の倍数であることがわかります。したがって、$n$ も5の倍数でなければなりません。

ここで、$m$ も $n$ も5の倍数であるという結論が得られました。これは、$m$ と $n$ が互いに素であるという仮定に矛盾します。

したがって、最初の仮定「$\sqrt{5}$ が有理数である」が誤りであったことがわかります。

3. 最終的な答え

$\sqrt{5}$ は無理数である。