極限 $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{an+b-\sqrt{3n^2+2n}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ が成り立つように、定数 $a, b$ の値を定める問題です。

1. 問題の内容

極限 $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{an+b-\sqrt{3n^2+2n}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ が成り立つように、定数 $a, b$ の値を定める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{3n^2+2n}$ を $n$ でくくりだします。

$\sqrt{3n^2+2n} = \sqrt{n^2(3 + \frac{2}{n})} = n\sqrt{3 + \frac{2}{n}}$

与えられた極限の式を変形します。

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{an+b-\sqrt{3n^2+2n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{an+b-n\sqrt{3+\frac{2}{n}}}$

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n(a - \sqrt{3+\frac{2}{n}}) + b}$

この極限が存在するためには、$n$ の係数が 0 である必要があります。なぜなら、$a - \sqrt{3+\frac{2}{n}}$ が 0 でない場合、$n$ が無限大に近づくと、分母全体が無限大になるため、極限は 0 になってしまうからです。

したがって、$a - \sqrt{3} = 0$ となる必要があり、$a = \sqrt{3}$ となります。

すると、

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n(a - \sqrt{3+\frac{2}{n}})+b} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n(\sqrt{3} - \sqrt{3+\frac{2}{n}})+b} = \frac{1}{b}$

この極限が $\frac{\sqrt{3}}{2}$ に等しいので、$\frac{1}{b} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ となります。

したがって、$b = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$ となります。

3. 最終的な答え

$a = \sqrt{3}$

$b = \frac{2\sqrt{3}}{3}$