先生と4人の生徒（太郎さん、花子さん、次郎さん、月子さん）がじゃんけんをする。問題文から、2回目のじゃんけんの後、特定の生徒が勝ち残っている確率、勝ち残っていない確率、特定の生徒の組み合わせが勝ち残っている確率、勝ち残っている生徒数の期待値を求める問題である。

1. 問題の内容

先生と4人の生徒（太郎さん、花子さん、次郎さん、月子さん）がじゃんけんをする。問題文から、2回目のじゃんけんの後、特定の生徒が勝ち残っている確率、勝ち残っていない確率、特定の生徒の組み合わせが勝ち残っている確率、勝ち残っている生徒数の期待値を求める問題である。

2. 解き方の手順

まず、1回目のじゃんけんについて考える。先生の手はグー、チョキ、パーのいずれかで、生徒の手も同様である。

(1) 2回目のじゃんけんの後、太郎さんが勝ち残っている確率を求める。

太郎さんが1回目に勝ち残る必要があり、その確率は先生の手がグーの時にチョキ、先生の手がチョキの時にパー、先生の手がパーの時にグーを出す場合であるため、$\frac{1}{3}$である。よって、太郎さんが勝ち残る確率は$\frac{1}{3}$である。つまり、ク = 1, ケ = 3。

(2) 2回目のじゃんけんの後、太郎さんが勝ち残っていない確率を求める。

太郎さんが1回目に負けるかあいこになる必要があり、その確率は$1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$である。よって、太郎さんが勝ち残っていない確率は$\frac{2}{3}$である。

(3) 2回目のじゃんけんの後、花子さんが勝ち残っている確率を求める。

花子さんも同様に、1回目のじゃんけんで勝つ必要があり、その確率は$\frac{1}{3}$である。よって、花子さんが勝ち残る確率は$\frac{1}{3}$である。

(4) 2回目のじゃんけんの後、月子さんが勝ち残っていない確率を求める。

月子さんも同様に、1回目のじゃんけんで負けるかあいこになる必要があり、その確率は$\frac{2}{3}$である。よって、月子さんが勝ち残っていない確率は$\frac{2}{3}$である。

(5) 2回目のじゃんけんの後、太郎さんと花子さんの2人だけが勝ち残っている確率を求める。

太郎さんと花子さんが1回目に勝ち、次郎さんと月子さんが1回目に負けるかあいこになる必要がある。太郎さんと花子さんが勝つ確率はそれぞれ$\frac{1}{3}$であり、次郎さんと月子さんが負けるかあいこになる確率はそれぞれ$\frac{2}{3}$である。これらは独立な事象なので、確率はそれぞれの積で求められる。

$\frac{1}{3} \times \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{4}{81}$

よって、求める確率は$\frac{4}{81}$である。つまり、コ = 4, サ = 81。

(6) 2回目のじゃんけんの後、勝ち残っている生徒の人数の期待値を求める。

各生徒が勝ち残る確率は$\frac{1}{3}$である。期待値は、各生徒が勝ち残る確率の合計で求められる。

$4 \times \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$

よって、求める期待値は$\frac{4}{3}$である。つまり、シ = 4, ス = 3。

3. 最終的な答え

ク = 1, ケ = 3

コ = 4, サ = 81

シ = 4, ス = 3