4人の生徒（太郎、花子、次郎、月子）が先生とじゃんけんをする。先生は常に一定の手を出し、生徒はそれぞれの手を出す。勝った生徒のみが次の回に進む。あいこまたは負けた生徒は以降のじゃんけんに参加できない。勝ち残った生徒がいない場合は0人と数える。この設定のもと、様々な確率や期待値を求める問題である。

1. 問題の内容

4人の生徒（太郎、花子、次郎、月子）が先生とじゃんけんをする。先生は常に一定の手を出し、生徒はそれぞれの手を出す。勝った生徒のみが次の回に進む。あいこまたは負けた生徒は以降のじゃんけんに参加できない。勝ち残った生徒がいない場合は0人と数える。この設定のもと、様々な確率や期待値を求める問題である。

2. 解き方の手順

(1) 1回目のじゃんけんで太郎さんが勝ち残る確率

先生の手は3種類（グー、チョキ、パー）あり、それぞれに対して太郎さんが勝つ手は1種類である。したがって、太郎さんが勝つ確率は $\frac{1}{3}$。

したがって、ア = 1, イ =

3.

1回目のじゃんけんでちょうど2人の生徒が勝ち残る確率

まず、2人の生徒を選ぶ組み合わせは $_4C_2 = 6$ 通り。2人の生徒が勝つ確率を考える。

生徒Aと生徒Bが勝つ場合、先生の手に対してAとBが勝つ手の出し方は一通り。残りの生徒CとDは負けなければならないので、先生の手に対してCとDはあいこか負ける手を出す必要がある。あいこになる手は先生の手と同じ手なので、確率は$\frac{1}{3}$である。負ける手は先生の手に対して1種類なので、確率は$\frac{1}{3}$。あいこか負ける確率は$\frac{2}{3}$。

したがって、生徒CとDがあいこになるか負ける確率は $(\frac{2}{3})^2 = \frac{4}{9}$

ゆえに2人の生徒が勝つ確率は$(\frac{1}{3})^2 (\frac{2}{3})^2 = \frac{4}{81}$

2人だけが勝つ確率は $_4C_2 \times (\frac{1}{3})^2 \times (\frac{2}{3})^2 = 6 \times \frac{4}{81} = \frac{24}{81} = \frac{8}{27}$

したがって、ウ = $_4C_2$, $\frac{8}{27}$

また、1回目のじゃんけんでちょうど2人の生徒が勝ち残ったとき、太郎さんが勝ち残っている条件付き確率

2人の生徒が勝ち残るパターンは $_4C_2 = 6$ 通り。そのうち太郎さんが含まれるのは、太郎さんと他の1人が勝つ場合。他の1人の選び方は $_3C_1 = 3$ 通り。

したがって、太郎さんが勝ち残っている確率は $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

したがって、エ = 1, オ =

2.

(2) 2回目のじゃんけんの後、太郎さんが勝ち残っている確率

1回目に太郎さんが勝ち残っている確率=$\frac{1}{3}$

1回目のじゃんけんで太郎さんが勝ち残った場合、2回目に太郎さんが勝ち残る確率は$\frac{1}{3}$である。

したがって、太郎さんが2回目に勝ち残っている確率は$\frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{9}$.

したがって、カ = 1, キ = 9

次郎さんが勝ち残っていない確率

1回目のじゃんけんで次郎さんが勝ち残っていない確率は$\frac{2}{3}$. 次郎さんが1回目に勝ち残ったとして2回目に勝ち残らない確率は$\frac{2}{3}$.

2回連続で次郎さんが勝ち残らない確率は,$\frac{2}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{4}{9}$

したがって、ク = 4, ケ = 9

同様に、2回目のじゃんけんの後、花子さんが勝ち残っている確率は$\frac{1}{9}$

月子さんが勝ち残っていない確率は$\frac{4}{9}$

太郎さんと花子さんの2人だけが勝ち残っている確率は

1回目に太郎さんと花子さんが勝ち、次郎さんと月子さんが負ける確率は$(\frac{1}{3})^2 (\frac{2}{3})^2 = \frac{4}{81}$. この時、太郎さんと花子さんの2人だけが勝ち残っている。

2回目のじゃんけんで太郎さんと花子さんが勝ち残る確率は$(\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$

したがって、2人のみが残る確率は, $\frac{4}{81} \times \frac{1}{9} = \frac{4}{729}$

したがって、コサ = 4, サ = 729

また、2回目のじゃんけんの後、勝ち残っている生徒の人数の期待値は

残っている人数は0, 1, 2, 3, 4の可能性。確率を計算し期待値を出す必要がある。

(3) 3回目のじゃんけんの後、太郎さんが勝ち残っている確率は

太郎さんが3回連続で勝ち残る確率を計算する。 $(\frac{1}{3})^3 = \frac{1}{27}$

太郎さんが3回目に勝ち残っている確率は $\frac{1}{27}$

したがって、セ = 1, ソタ = 27

また、3回目のじゃんけんの後、太郎さんと花子さんの少なくとも一方が勝ち残っていて、かつ次郎さんと月子さんの少なくとも一方が勝ち残っている確率は

3. 最終的な答え

ア = 1, イ = 3

ウ = $_4C_2$, $\frac{8}{27}$

エ = 1, オ = 2

カ = 1, キ = 9

ク = 4, ケ = 9

コサ = 4, サ = 729

シ = 未計算, ス = 未計算

セ = 1, ソタ = 27

チツテト = 未計算