太郎さん、花子さん、次郎さん、月子さんの4人の生徒が先生とじゃんけんをします。先生は常に1つの手を出し、生徒はそれぞれの手を出す。先生に勝った生徒が勝ち残ります。あいこになった生徒と負けた生徒は次のじゃんけんに参加できません。以下の問題を解いてください。 (1) 1回目のじゃんけんで太郎さんが勝ち残る確率は？ (2) 2回目のじゃんけんの後、太郎さんが勝ち残っている確率は？ (3) 2回目のじゃんけんの後、太郎さんと花子さんの2人だけが勝ち残っている確率は？ (4) 3回目のじゃんけんの後、太郎さんが勝ち残っている確率は？

1. 問題の内容

太郎さん、花子さん、次郎さん、月子さんの4人の生徒が先生とじゃんけんをします。先生は常に1つの手を出し、生徒はそれぞれの手を出す。先生に勝った生徒が勝ち残ります。あいこになった生徒と負けた生徒は次のじゃんけんに参加できません。以下の問題を解いてください。

(1) 1回目のじゃんけんで太郎さんが勝ち残る確率は？

(2) 2回目のじゃんけんの後、太郎さんが勝ち残っている確率は？

(3) 2回目のじゃんけんの後、太郎さんと花子さんの2人だけが勝ち残っている確率は？

(4) 3回目のじゃんけんの後、太郎さんが勝ち残っている確率は？

2. 解き方の手順

(1) 1回目のじゃんけんで太郎さんが勝ち残る確率：

先生が出す手はグー、チョキ、パーの3通り。

太郎さんが勝ち残るには、先生がグーを出したときに太郎さんがチョキを出す必要があります。

太郎さんがチョキを出す確率は $1/3$ 。

先生がグーを出す確率は $1/3$ 。

よって、太郎さんが勝ち残る確率は $1/3$ × $1/3 = 1/9$。

(2) 2回目のじゃんけんの後、太郎さんが勝ち残っている確率は？

1回目で太郎さんが勝ち残る確率は $1/9$。

2回目のじゃんけんに進むためには、1回目で太郎さんが勝ち残っている必要があります。

1回目で太郎さんが勝ち残った場合、2回目には太郎さんと先生でじゃんけんをします。

このとき、太郎さんが勝つ確率は $1/3$。

したがって、2回目のじゃんけんの後、太郎さんが勝ち残っている確率は $1/9$ × $1/3 = 1/27$。

2回目のじゃんけんの後、太郎さんが勝ち残っていない確率は、1回目で太郎さんが負けるか、あいこになるか、あるいは1回目で太郎さんが勝ったけれども2回目で負けるかのいずれかです。

1回目で太郎さんが負ける確率は、$1 - 1/9 = 8/9$。

1回目で太郎さんが勝ち、2回目で負ける確率は、$1/9 * 2/3 = 2/27$

よって、太郎さんが2回目のじゃんけんの後、勝ち残っていない確率は、 $8/9 + 2/27 = (24+2)/27 = 26/27$

従って、太郎さんが勝ち残っている確率は $1 - 26/27 = 1/27$。

(3) 2回目のじゃんけんの後、太郎さんと花子さんの2人だけが勝ち残っている確率は？

先生は、グー、チョキ、パーのいずれかを出します。

太郎さんと花子さんの2人だけが勝ち残るには、先生がグーを出し、太郎さんと花子さんがチョキを出すか、先生がチョキを出し、太郎さんと花子さんがパーを出すか、先生がパーを出し、太郎さんと花子さんがグーを出す必要があります。

太郎さんと花子さんが同じ手を出す確率は $1/3$。

2人ともチョキを出す確率は $(1/3)^2 = 1/9$。先生がグーを出す確率は $1/3$。この組み合わせの確率は $1/27$。

同様に、2人ともパーを出す確率は $1/9$。先生がチョキを出す確率は $1/3$。この組み合わせの確率は $1/27$。

同様に、2人ともグーを出す確率は $1/9$。先生がパーを出す確率は $1/3$。この組み合わせの確率は $1/27$。

したがって、太郎さんと花子さんの2人だけが勝ち残る確率は $1/27 + 1/27 + 1/27 = 3/27 = 1/9$。

(4) 3回目のじゃんけんの後、太郎さんが勝ち残っている確率は？

2回目終了時に太郎さんと花子さんの2人が残っている確率は、$1/9$。

2回目終了時に太郎さんが残っている確率は、$1/27$。

2回目終了時に太郎さんと花子さんだけが残っていて、3回目で太郎さんが勝つ確率を求める。

先生がグーを出すとして、太郎さんと花子さんは共にチョキを出す確率が$(1/3)^2 = 1/9$。先生がチョキを出すとして、太郎さんと花子さんは共にパーを出す確率が$(1/3)^2 = 1/9$。先生がパーを出すとして、太郎さんと花子さんは共にグーを出す確率が$(1/3)^2 = 1/9$。

従って、太郎さんと花子さんが残る確率 = $3(1/3)^3 = 1/9$

太郎さんが勝つ確率 = $1/3$

従って、$1/9 * 1/3 = 1/27$

3. 最終的な答え

(1) ア：1, イ：9

(2) カ：1, キ：27

(3) コサ：1, シ：9

(4) セ：1, ソタ：81