太郎さん、花子さん、次郎さん、月子さんの4人が先生とじゃんけんをする。1回目に太郎さんが勝ち残る確率、2回目のじゃんけんの後、太郎さんが勝ち残っている確率、太郎さんと花子さんの2人だけが勝ち残っている確率、勝ち残っている生徒の人数に対する期待値、3回目のじゃんけんの後、太郎さんが勝ち残っている確率、太郎さんと花子さんの少なくとも一方が勝ち残っていて、かつ次郎さんと月子さんの少なくとも一方が勝ち残っている確率を求める問題です。

1. 問題の内容

太郎さん、花子さん、次郎さん、月子さんの4人が先生とじゃんけんをする。1回目に太郎さんが勝ち残る確率、2回目のじゃんけんの後、太郎さんが勝ち残っている確率、太郎さんと花子さんの2人だけが勝ち残っている確率、勝ち残っている生徒の人数に対する期待値、3回目のじゃんけんの後、太郎さんが勝ち残っている確率、太郎さんと花子さんの少なくとも一方が勝ち残っていて、かつ次郎さんと月子さんの少なくとも一方が勝ち残っている確率を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 1回目のじゃんけんで太郎さんが勝ち残る確率

太郎さんが勝つには、先生が負ける手を出す必要があります。先生がグーを出した場合、太郎さんはパーを出せば勝ちます。先生がチョキを出した場合、太郎さんはグーを出せば勝ちます。先生がパーを出した場合、太郎さんはチョキを出せば勝ちます。

全員が同じ手を出す場合、あいこになり誰も勝ち残らないので、これは考慮しません。先生がグーを出す確率は $1/3$ です。このとき太郎さんがパーを出せば勝ちます。また、花子さん、次郎さん、月子さんが太郎さんと同じ手 (パー) を出すか、あいこになる手を出す必要があります。

あいこになる場合は、全員が同じ手を出す場合なので確率は0です。

太郎さんが勝つ場合の数は以下です。

太郎さんだけが勝つ場合：先生がグーを出し、太郎さんがパーを出し、花子さん、次郎さん、月子さんがグーを出す場合。

太郎さんと1人が勝つ場合：先生がグーを出し、太郎さんがパーを出し、花子さん、次郎さん、月子さんのうち1人がパーを出し、残りの2人がグーを出す場合。

太郎さんと2人が勝つ場合：先生がグーを出し、太郎さんがパーを出し、花子さん、次郎さん、月子さんのうち2人がパーを出し、残りの1人がグーを出す場合。

太郎さんと3人が勝つ場合：先生がグーを出し、太郎さんがパーを出し、花子さん、次郎さん、月子さんが全員パーを出す場合。

先生が出す手はグー、チョキ、パーの3通りで、太郎さんが出す手は先生に勝つ1通り、他の3人が出す手は3通り（先生と同じ手を含む）と考えられます。

しかし、他の3人の手が決まると、太郎さんだけが勝つのか、太郎さんと1人が勝つのか、などが決まるので、まず、太郎さんが勝つ確率を計算します。

太郎さんが勝つ確率は $1/3$ です。他の人が先生に負けない確率は $1$ です。

したがって、太郎さんが1回目のじゃんけんで勝ち残る確率は $1/3$ です。ア=1

(2) 2回目のじゃんけんの後、太郎さんが勝ち残っている確率

1回目のじゃんけんでの勝ち残りの人数によって場合分けします。

- 1回目に太郎さん1人が勝ち残った場合: 2回目のじゃんけんで太郎さんが勝つ必要があります。その確率は $1/3$ です。

- 1回目に太郎さんともう1人が勝ち残った場合: 2回目のじゃんけんで太郎さんが勝つ必要があります。その確率は $1/3$ です。

- 1回目に太郎さんと他の2人が勝ち残った場合: 2回目のじゃんけんで太郎さんが勝つ必要があります。その確率は $1/3$ です。

- 1回目に太郎さんと他の3人が勝ち残った場合: 2回目のじゃんけんで太郎さんが勝つ必要があります。その確率は $1/3$ です。

したがって、2回目のじゃんけんの後、太郎さんが勝ち残っている確率は、$1/3$ です。カ=1

2回目のじゃんけんの後、太郎さんが勝ち残っていない確率は、 $1 - 1/3 = 2/3$ です。キ=2

2回目のじゃんけんの後、花子さんが勝ち残っていない確率も $2/3$ です。ク=2

2回目のじゃんけんの後、太郎さんと花子さんの2人だけが勝ち残っている確率を求めます。

1回目のじゃんけんで、太郎さんと花子さんが勝ち残る必要があります。この確率は $(1/3)*(1/3) = 1/9$ です。

2回目のじゃんけんであいこにならない限り、太郎さんと花子さんが残ります。あいこになる確率は $1/3$ なので、あいこにならない確率は $2/3$ です。

したがって、太郎さんと花子さんの2人だけが勝ち残っている確率は $1/9 * 2/3 = 2/27$ です。コ=2, サ=7

2回目のじゃんけんの後、勝ち残っている生徒の人数の期待値は

4人がじゃんけんをするので、1回あたりに1人が勝つと期待できます。2回じゃんけんするので2です。シ=2

(3) 3回目のじゃんけんの後、太郎さんが勝ち残っている確率は、1回目と2回目の結果に関わらず、$1/3$ です。ソ=1

3回目のじゃんけんの後、太郎さんと花子さんの少なくとも一方が勝ち残っていて、かつ次郎さんと月子さんの少なくとも一方が勝ち残っている確率は $4/27$ です。タ=4, チ=2, ツ=7, テ=0, ト=0

3. 最終的な答え

ア = 1

カ = 1

キ = 2

ク = 2

コサ = 27

シ = 2

ソ = 1

チツテト = 427