母音a, i, u, e, o と子音k, s, tの8個を1列に並べる。 (1) 両端が母音であるような並べ方は何通りあるか。 (2) 母音5個が続いて並ぶような並べ方は何通りあるか。

1. 問題の内容

母音a, i, u, e, o と子音k, s, tの8個を1列に並べる。

(1) 両端が母音であるような並べ方は何通りあるか。

(2) 母音5個が続いて並ぶような並べ方は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1)

両端が母音である並べ方を考える。

まず、両端に母音を並べる。5個の母音から2個を選んで並べるので、$P(5,2)$通りある。

$P(5,2) = 5 \times 4 = 20$

次に、残りの6個の文字を並べる。これは$6!$通りある。

$6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$

したがって、両端が母音である並べ方は、$20 \times 720 = 14400$通り。

(2)

母音5個をまとめて1つのものと考える。

母音のまとまりと子音3個を並べるので、$4!$通りある。

$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$

母音5個の並べ方は、$5!$通りある。

$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$

したがって、母音5個が続いて並ぶ並べ方は、$24 \times 120 = 2880$通り。

3. 最終的な答え

(1) 14400通り

(2) 2880通り