太郎さん、花子さん、次郎さん、月子さんの4人の生徒が先生とじゃんけんをする問題です。先生は毎回手を出し、生徒は先生に勝った場合のみ残ります。あいこまたは負けた生徒は次回以降のじゃんけんに参加できません。生徒が誰も残らなかった場合は、次の回でも4人全員が参加するものとします。問題では、各回のじゃんけんで特定の生徒が勝ち残る確率や、残った生徒の人数に関する確率などを計算します。

1. 問題の内容

太郎さん、花子さん、次郎さん、月子さんの4人の生徒が先生とじゃんけんをする問題です。先生は毎回手を出し、生徒は先生に勝った場合のみ残ります。あいこまたは負けた生徒は次回以降のじゃんけんに参加できません。生徒が誰も残らなかった場合は、次の回でも4人全員が参加するものとします。問題では、各回のじゃんけんで特定の生徒が勝ち残る確率や、残った生徒の人数に関する確率などを計算します。

2. 解き方の手順

（1）1回目のじゃんけんで太郎さんが勝ち残る確率

太郎さんが先生に勝つためには、先生がグーを出した場合は太郎さんがパーを出し、先生がチョキを出した場合は太郎さんがグーを出し、先生がパーを出した場合は太郎さんがチョキを出せば良いので、その確率は $1/3$ です。

1回目のじゃんけんでちょうど2人の生徒が勝ち残る確率

生徒が先生に勝つ確率は $1/3$ なので、先生に負ける確率は $2/3$ です。4人の生徒のうち2人が勝ち残る確率は、${}_4C_2 \times (1/3)^2 \times (2/3)^2$ です。

${}_4C_2 = 6$ であるので、確率は $6 \times (1/9) \times (4/9) = 24/81 = 8/27$ となります。

したがって、$\frac{8}{27}$ です。

1回目のじゃんけんでちょうど2人の生徒が勝ち残ったとき、太郎さんが勝ち残っている条件付き確率

2人が勝ち残る組み合わせは、太郎さんが含まれる場合と含まれない場合があります。太郎さんが含まれない組み合わせは、${}_3C_2 = 3$ 通りです。太郎さんが含まれる組み合わせは、${}_3C_1 = 3$ 通りです。したがって、太郎さんが勝ち残っている条件付き確率は $3 / (3+3) = 1/2$ となります。

（2）2回目のじゃんけんの後、太郎さんが勝ち残っている確率

1回目のじゃんけんで太郎さんが負けていない確率が $1/3$、2回目に勝つ確率が$1/3$なので、$1/3 * 1/3$となる。

2回目のじゃんけんの後、次郎さんが勝ち残っていない確率

太郎さんと同じように考えると、2回目のじゃんけんで、次郎さんが負けていない確率は $2/3$ です。

2回目のじゃんけんの後、太郎さんと花子さんの2人だけが勝ち残っている確率

2回目のじゃんけんで太郎さんと花子さんだけが勝ち残る確率は、$\frac{8}{27} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{8}{243}$ です。

2回目のじゃんけんの後、勝ち残っている生徒の人数の期待値

$4 \times \frac{1}{3} + 3 \times \frac{2}{9} + 2 \times \frac{8}{27} + 1 \times \frac{16}{81} + 0 \times \frac{1}{81} = \frac{108 + 54 + 48 + 16 + 0}{81} = \frac{226}{81}$

（3）3回目のじゃんけんの後、太郎さんが勝ち残っている確率

3回目のじゃんけんの後、太郎さんが勝ち残っている確率は $1/27$です。

3回目のじゃんけんの後、太郎さんと花子さんの少なくとも一方が勝ち残っていて、かつ次郎さんと月子さんの少なくとも一方が勝ち残っている確率は $2/81$です。

3. 最終的な答え

（1）

ア：1/3

イ：1/3

ウ：${}_4C_2$

エ：1/2

オ：1/2

（2）

カ：1/9

キ：1/9

ク：2/3

ケ：2/3

コサ：8/243

シ：226/81

ス：226/81

（3）

セ：1/27

ソタ：1/27

チツテト：2/81