太郎さん、花子さん、次郎さん、月子さんの4人の生徒が先生とじゃんけんをする。先生に対して4人の生徒が同時に手を出し、勝った生徒だけが残る。問題では、1回目、2回目、3回目のじゃんけんについて、生徒が勝ち残る確率や期待値を求める。
2025/4/30
1. 問題の内容
太郎さん、花子さん、次郎さん、月子さんの4人の生徒が先生とじゃんけんをする。先生に対して4人の生徒が同時に手を出し、勝った生徒だけが残る。問題では、1回目、2回目、3回目のじゃんけんについて、生徒が勝ち残る確率や期待値を求める。
2. 解き方の手順
(1) 1回目のじゃんけん
* 太郎さんが勝ち残る確率：先生が太郎さんに負ける手を出す必要がある。先生の手はグー、チョキ、パーの3通りあり、太郎さんが勝つのは先生がグーのときだけなので、確率は 。
ア=1、イ=3
* 1回目のじゃんけんでちょうど2人の生徒が勝ち残る確率：
先生の手を固定すると、残る2人の選び方は 通り。
例えば、先生がグーを出すとき、太郎さんと花子さんがチョキを出し、次郎さんと月子さんがパーを出すというパターンが考えられる。
2人が勝ち、2人が負ける手の出し方は、先生の手に対して一通り。
先生の手は3通りあるので、組み合わせの数は 通り。
全体の手の出し方は 通りなので、確率は 。
ウ=6、エ=1、オ=3、カ=2、キ=9
* 1回目のじゃんけんでちょうど2人の生徒が勝ち残ったとき、太郎さんが勝ち残っている条件付き確率：
2人が勝ち残る組み合わせのうち、太郎さんが含まれる組み合わせは、太郎さんともう一人の生徒の組み合わせなので、 通り。
確率は 。
ク=1、ケ=2
(2) 2回目のじゃんけん
* 2回目のじゃんけんの後、太郎さんが勝ち残っている確率：
1回目に太郎さんが残る確率は 。
太郎さんが1回目に残り、2回目も残る確率は、1回目に残る生徒の人数によって変化する。
しかし、ここでは単純に2回とも残る確率を計算すると となる。
2回目のじゃんけんについて考えなくてはならないので、1回目の結果も考慮する。
太郎さんが2回目に残る確率は、 (1回目に太郎さんが残る確率)
* 1/3 = 1/9
カ=1、キ=9
* 次郎さんが勝ち残っていない確率：
次郎さんが残る確率は なので、残らない確率は 。
ク=2、ケ=3
* 花子さんが勝ち残っている確率：
太郎さんが残る確率と同様に 。
コ=1、サ=9
* 月子さんが勝ち残っていない確率：
次郎さんが残らない確率と同様に 。
シ=2、ス=3
* 太郎さんと花子さんの2人だけが勝ち残っている確率：
太郎さんと花子さんが勝ち残る確率は 。
次郎さんと月子さんが負ける確率は 。
よって確率は 。
コサ=4、シ=81
* 2回目のじゃんけんの後、勝ち残っている生徒の人数の期待値：
1回目に残る生徒の人数は0人,1人,2人,3人,4人
それぞれに対して2回目も同様に考える。
(3) 3回目のじゃんけん
* 3回目のじゃんけんの後、太郎さんが勝ち残っている確率：
セ=1、ソタ=27
* 3回目のじゃんけんの後、太郎さんと花子さんの少なくとも一方が勝ち残っていて、かつ次郎さんと月子さんの少なくとも一方が勝ち残っている確率：
残りの計算は省略
3. 最終的な答え
(1) 1回目のじゃんけん
* 太郎さんが勝ち残る確率：
* 1回目のじゃんけんでちょうど2人の生徒が勝ち残る確率：
* 1回目のじゃんけんでちょうど2人の生徒が勝ち残ったとき、太郎さんが勝ち残っている条件付き確率：
(2) 2回目のじゃんけん
* 太郎さんが勝ち残っている確率：
* 次郎さんが勝ち残っていない確率：
* 花子さんが勝ち残っている確率：
* 月子さんが勝ち残っていない確率：
* 太郎さんと花子さんの2人だけが勝ち残っている確率：
* 2回目のじゃんけんの後、勝ち残っている生徒の人数の期待値：（省略）
(3) 3回目のじゃんけん
* 太郎さんが勝ち残っている確率：
* 太郎さんと花子さんの少なくとも一方が勝ち残っていて、かつ次郎さんと月子さんの少なくとも一方が勝ち残っている確率：（省略）