太郎さん、花子さん、次郎さん、月子さんの4人の生徒が先生とじゃんけんをする。先生に対して4人の生徒が同時に手を出す「対多のじゃんけん」であり、先生の出した手に勝った生徒は残り、あいこになった生徒と負けた生徒は次回以降のじゃんけんには参加できない。勝ち残った生徒は再び先生とじゃんけんをする。問題は、じゃんけんの確率に関するいくつかの問いに答えるものです。

1. 問題の内容

太郎さん、花子さん、次郎さん、月子さんの4人の生徒が先生とじゃんけんをする。先生に対して4人の生徒が同時に手を出す「対多のじゃんけん」であり、先生の出した手に勝った生徒は残り、あいこになった生徒と負けた生徒は次回以降のじゃんけんには参加できない。勝ち残った生徒は再び先生とじゃんけんをする。問題は、じゃんけんの確率に関するいくつかの問いに答えるものです。

2. 解き方の手順

(1) 1回目のじゃんけんで太郎さんが勝ち残る確率は、先生が出す手に対して太郎さんが勝つ手の確率を考える。先生の手はグー、チョキ、パーの3通りがあり、それぞれの場合で太郎さんが勝つ場合は1通りずつであるから、太郎さんが勝つ確率は $1/3$ である。

1回目のじゃんけんでちょうど2人の生徒が勝ち残る確率は、4人の中から2人が勝ち残る組み合わせの数と、それぞれの組み合わせで2人が勝ち残る確率を考える。4人の中から2人を選ぶ組み合わせは $_4C_2 = 6$ 通りである。1回目のじゃんけんで太郎さんが勝ち残る確率を$p$、残らない確率を$1-p$とすると、ちょうど2人が残る確率は $_4C_2 \times p^2 \times (1-p)^2$ で求められる。

選択肢のウは $_4C_2$ なので答えは1

また、1回目のじゃんけんでちょうど2人の生徒が勝ち残ったとき、太郎さんが勝ち残っている条件付き確率は、2人が勝ち残る組み合わせの中で太郎さんが勝ち残っている確率を求める。2人の生徒が勝ち残るパターンは、太郎さんが残る場合と残らない場合があり、太郎さんが残る場合は、太郎さんとあと1人が残る場合である。太郎さんが残る確率は $1/2$ である。

(2) 2回目のじゃんけんの後、太郎さんが勝ち残っている確率は、$1/3$ である。

次郎さんが勝ち残っていない確率は、$2/3$ である。

花子さんが勝ち残っている確率は、$1/3$ であり、月子さんが勝ち残っていない確率は、$2/3$ である。

これらの確率を利用すると、2回目のじゃんけんの後、太郎さんと花子さんの2人だけが勝ち残っている確率は、$(1/3)\times(1/3)=1/9$ である。

また、2回目のじゃんけんの後、勝ち残っている生徒の人数の期待値は、確率変数を$X$、確率を$P$とすると

$X=0, P=(2/3)^4=16/81$

$X=1, P=4C1 (1/3)(2/3)^3 = 32/81$

$X=2, P=4C2 (1/3)^2 (2/3)^2 = 24/81$

$X=3, P=4C3 (1/3)^3 (2/3) = 8/81$

$X=4, P=(1/3)^4 = 1/81$

期待値$=0\times16/81+1\times32/81+2\times24/81+3\times8/81+4\times1/81=108/81 = 4/3$

(3) 3回目のじゃんけんの後、太郎さんが勝ち残っている確率は、$1/3$ である。

また、3回目のじゃんけんの後、太郎さんと花子さんの少なくとも一方が勝ち残っていて、かつ次郎さんと月子さんの少なくとも一方が勝ち残っている確率は、$4/9$ である。

3. 最終的な答え

(1)

ア：1

イ：3

ウ：1

エ：1

オ：2

(2)

カ：1

キ：3

ク：2

ケ：3

コサ：1

シ：9

ス：4

セ：1

(3)

ソタ：3

チツテト：4

9