$k$を定数とするとき、方程式 $\frac{\log x}{x} = k$ の異なる実数解の個数を、$k$の値によって分類する問題です。ただし、$\lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x} = 0$ を用いてよいとあります。

1. 問題の内容

$k$を定数とするとき、方程式 $\frac{\log x}{x} = k$ の異なる実数解の個数を、$k$の値によって分類する問題です。ただし、$\lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x} = 0$ を用いてよいとあります。

2. 解き方の手順

まず、$f(x) = \frac{\log x}{x}$ とおき、$y = f(x)$ のグラフを調べます。

$f'(x) = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \log x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \log x}{x^2}$

$f'(x) = 0$ となるのは、$1 - \log x = 0$ のとき、つまり $\log x = 1$ より $x = e$ のときです。

$f'(x) > 0$ となるのは、$1 - \log x > 0$ のとき、つまり $\log x < 1$ より $x < e$ のときです。

$f'(x) < 0$ となるのは、$1 - \log x < 0$ のとき、つまり $\log x > 1$ より $x > e$ のときです。

したがって、$f(x)$ は $x=e$ で極大値をとります。その極大値は

$f(e) = \frac{\log e}{e} = \frac{1}{e}$

また、$\lim_{x \to +0} \frac{\log x}{x} = -\infty$ であり、$\lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x} = 0$ であることが与えられています。

以上のことから、$y = f(x)$ のグラフは、$x=e$ で極大値 $1/e$ を持ち、

$x \to +0$ のとき $-\infty$ に発散、$x \to \infty$ のとき $0$ に収束します。

したがって、$y = k$ と $y = f(x)$ の交点の個数を考えます。

* $k < 0$ のとき：交点は1つ。つまり実数解は1個。

* $k = 0$ のとき：交点は1つ。つまり実数解は1個。($x=1$)

* $0 < k < \frac{1}{e}$ のとき：交点は2つ。つまり実数解は2個。

* $k = \frac{1}{e}$ のとき：交点は1つ。つまり実数解は1個。

* $k > \frac{1}{e}$ のとき：交点はない。つまり実数解は0個。

問題文に合うように書き換えると

* $0 < k < \frac{1}{e}$ のとき、実数解は2個。したがって、1=0, 2=1, 3=2。

* $k \le 0$ , $k = \frac{1}{e}$ のとき、実数解は1個。したがって、4=0, 5=1, 6=1。

* $k > \frac{1}{e}$ のとき、実数解は0個。したがって、7=1, 8=0。

3. 最終的な答え

1: 0

2: 1

3: 2

4: 0

5: 1

6: 1

7: 1

8: 0