商品Bの費用関数が $f(x) = x^3 + x^2 + 2x + c$ であり、商品Bを $x$ kg生産したときの利益 $z$ が $z = 10x - f(x)$ で表される。固定費用が3であるとき、$c$ の値を求め、さらに $x \geq 0$ の範囲における $z$ の最大値とそのときの $x$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

商品Bの費用関数が $f(x) = x^3 + x^2 + 2x + c$ であり、商品Bを $x$ kg生産したときの利益 $z$ が $z = 10x - f(x)$ で表される。固定費用が3であるとき、$c$ の値を求め、さらに $x \geq 0$ の範囲における $z$ の最大値とそのときの $x$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

(i) 固定費用が3であることから、$x=0$ のときにかかる費用が3である。

つまり、$f(0) = c = 3$

(ii) $z = 10x - f(x) = 10x - (x^3 + x^2 + 2x + c) = 10x - x^3 - x^2 - 2x - 3 = -x^3 - x^2 + 8x - 3$。

$g(x) = z = -x^3 - x^2 + 8x - 3$ とおくと、

$g'(x) = -3x^2 - 2x + 8$

$g'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$-3x^2 - 2x + 8 = 0$

$3x^2 + 2x - 8 = 0$

$(3x - 4)(x + 2) = 0$

$x = \frac{4}{3}, -2$

$x \geq 0$ より、$x = \frac{4}{3}$

$x = \frac{4}{3}$ のとき、$z$ は最大値を取る可能性があります。

$g(0) = -3$

$g(\frac{4}{3}) = -(\frac{4}{3})^3 - (\frac{4}{3})^2 + 8(\frac{4}{3}) - 3 = -\frac{64}{27} - \frac{16}{9} + \frac{32}{3} - 3 = \frac{-64 - 48 + 288 - 81}{27} = \frac{95}{27}$

$z$ の最大値は $\frac{95}{27}$。

$x \geq 0$ の範囲における $z$ の最大値は $x = \frac{4}{3}$ のとき $\frac{95}{27}$ である。

3. 最終的な答え

(i) $c = 3$

(ii) $z$ の最大値は $\frac{95}{27}$ であり、そのときの $x$ の値は $x = \frac{4}{3}$ である。