与えられた問題は以下の5つです。 (1) 初速度 $16 \ m/s$ で運動していた物体が、$5.0 \ s$ 間加速して $28 \ m/s$ になったときの加速度の大きさを求める。 (2) 質量 $1.5 \ kg$ の物体を静かに落下させたとき、$3.0 \ s$ 後の物体の速さを求める (重力加速度は $9.8 \ m/s^2$ とする)。 (3) $x$ 軸上を一定の加速度で運動する物体の時刻 $t=1 \ s$ での速度 $v_x(1) = 23 \ m/s$ と $t=3.5 \ s$ での速度 $v_x(3.5) = 8.0 \ m/s$ から、加速度 $a_x$ を求める。 (4) $x$ 軸上を正の向きに $32 \ m/s$ で運動していた物体が、時刻 $t=0 \ s$ から一定の加速度で減速し、$t=5.0 \ s$ で停止した。減速中の物体の加速度 $a_x$ を計算し、時刻 $t$ ($0 \le t \le 5.0$) での速度 $v_x(t)$ を求める。 (5) $x$軸上を運動する質量 $0.20 \ kg$ の物体の位置が $x(t) = 3.0t^2 - 36t \ [m]$ で表されるとき、以下の問いに答える。 (1) 時刻 $t$ での物体の速度 $v_x(t)$ を求める。 (2) 時刻 $t$ での物体の加速度 $a_x(t)$ を求める。 (3) この物体が折り返す時刻と、折り返し点の座標を求める。

## 問題の解答

1. 問題の内容

与えられた問題は以下の5つです。

(1) 初速度 $16 \ m/s$ で運動していた物体が、$5.0 \ s$ 間加速して $28 \ m/s$ になったときの加速度の大きさを求める。

(2) 質量 $1.5 \ kg$ の物体を静かに落下させたとき、$3.0 \ s$ 後の物体の速さを求める (重力加速度は $9.8 \ m/s^2$ とする)。

(3) $x$ 軸上を一定の加速度で運動する物体の時刻 $t=1 \ s$ での速度 $v_x(1) = 23 \ m/s$ と $t=3.5 \ s$ での速度 $v_x(3.5) = 8.0 \ m/s$ から、加速度 $a_x$ を求める。

(4) $x$ 軸上を正の向きに $32 \ m/s$ で運動していた物体が、時刻 $t=0 \ s$ から一定の加速度で減速し、$t=5.0 \ s$ で停止した。減速中の物体の加速度 $a_x$ を計算し、時刻 $t$ ($0 \le t \le 5.0$) での速度 $v_x(t)$ を求める。

(5) $x$軸上を運動する質量 $0.20 \ kg$ の物体の位置が $x(t) = 3.0t^2 - 36t \ [m]$ で表されるとき、以下の問いに答える。

(1) 時刻 $t$ での物体の速度 $v_x(t)$ を求める。

(2) 時刻 $t$ での物体の加速度 $a_x(t)$ を求める。

(3) この物体が折り返す時刻と、折り返し点の座標を求める。

2. 解き方の手順

(1) 加速度の計算：

加速度 $a$ は速度の変化量を時間で割ったものとして計算できる。

$a = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{v_f - v_i}{t_f - t_i}$

(2) 自由落下の速度計算：

自由落下の場合、速度 $v$ は $v = gt$ で求められる。

(3) 一定加速度運動の加速度計算：

加速度は $a = \frac{\Delta v}{\Delta t}$ で計算できる。

(4) 一定加速度運動の加速度と速度の計算：

加速度は $a = \frac{\Delta v}{\Delta t}$ で計算できる。

速度は $v(t) = v_0 + at$ で計算できる。

(5) 位置の関数からの速度と加速度の計算：

速度は位置の関数の時間微分で求められる。

$v(t) = \frac{dx(t)}{dt}$

加速度は速度の関数の時間微分で求められる。

$a(t) = \frac{dv(t)}{dt}$

折り返す時刻は、速度が0になる時刻である。

折り返し点の座標は、折り返す時刻を位置の関数に代入することで求められる。

3. 最終的な答え

(1) $a = \frac{28 - 16}{5.0} = 2.4 \ m/s^2$

(2) $v = 9.8 \times 3.0 = 29.4 \ m/s$

(3) $a_x = \frac{8.0 - 23}{3.5 - 1} = \frac{-15}{2.5} = -6.0 \ m/s^2$

(4) $a_x = \frac{0 - 32}{5.0 - 0} = -6.4 \ m/s^2$

$v_x(t) = 32 - 6.4t \ m/s$

(5) (1) $v_x(t) = \frac{d}{dt} (3.0t^2 - 36t) = 6.0t - 36 \ m/s$

(2) $a_x(t) = \frac{d}{dt} (6.0t - 36) = 6.0 \ m/s^2$

(3) 折り返す時刻：$6.0t - 36 = 0$ より $t = 6.0 \ s$

折り返し点の座標：$x(6) = 3.0(6)^2 - 36(6) = 3.0(36) - 216 = 108 - 216 = -108 \ m$