質量 $m$ の物体Aと質量 $M$ の物体Bが糸でつながれており、物体Aに大きさ $F$ の力が鉛直上向きに加わっています。糸が引く力の大きさを $T$ 、生じる加速度の大きさを $a$ 、重力加速度の大きさを $g$ として、以下の問いに答えます。 (1) 物体Aと物体Bそれぞれの運動方程式を立てる。 (2) 生じる加速度 $a$ を $F, m, M, g$ を用いて表す。 (3) 糸が引く力 $T$ を $F, m, M$ を用いて表す。

1. 問題の内容

質量 $m$ の物体Aと質量 $M$ の物体Bが糸でつながれており、物体Aに大きさ $F$ の力が鉛直上向きに加わっています。糸が引く力の大きさを $T$ 、生じる加速度の大きさを $a$ 、重力加速度の大きさを $g$ として、以下の問いに答えます。

(1) 物体Aと物体Bそれぞれの運動方程式を立てる。

(2) 生じる加速度 $a$ を $F, m, M, g$ を用いて表す。

(3) 糸が引く力 $T$ を $F, m, M$ を用いて表す。

2. 解き方の手順

(1) (a) 物体Aについて：

物体Aには、上向きに力 $F$ 、下向きに重力 $mg$ 、下向きに糸の張力 $T$ が働きます。運動方程式は以下のようになります。

$ma = F - mg - T$

(b) 物体Bについて：

物体Bには、上向きに糸の張力 $T$ 、下向きに重力 $Mg$ が働きます。運動方程式は以下のようになります。

$Ma = T - Mg$

(2) 加速度 $a$ を求める：

2つの運動方程式から $T$ を消去します。

物体Aの運動方程式を変形すると

$T = F - mg - ma$

これを物体Bの運動方程式に代入すると

$Ma = F - mg - ma - Mg$

$Ma + ma = F - mg - Mg$

$(M+m)a = F - (M+m)g$

したがって、

$a = \frac{F}{M+m} - g$

(3) 糸の張力 $T$ を求める：

求めた加速度 $a$ を物体Bの運動方程式に代入します。

$T = Ma + Mg$

$T = M(\frac{F}{M+m} - g) + Mg$

$T = \frac{MF}{M+m} - Mg + Mg$

$T = \frac{MF}{M+m}$

3. 最終的な答え

(1) (a) 物体Aの運動方程式：$ma = F - mg - T$

(b) 物体Bの運動方程式：$Ma = T - Mg$

(2) 加速度 $a$ ：$a = \frac{F}{M+m} - g$

(3) 糸の張力 $T$ ：$T = \frac{MF}{M+m}$