2次元平面上を運動する質量 $m$ の質点について、デカルト座標と極座標での運動方程式を比較し、極座標での運動方程式を導出し、さらに中心力ポテンシャルの場合に角運動量が保存されることを示す。

1. 問題の内容

2次元平面上を運動する質量 $m$ の質点について、デカルト座標と極座標での運動方程式を比較し、極座標での運動方程式を導出し、さらに中心力ポテンシャルの場合に角運動量が保存されることを示す。

2. 解き方の手順

(1) 式(7)を導出する。

デカルト座標と極座標の関係 $x = r \cos \theta, y = r \sin \theta$ と合成関数の微分を用いて、$\frac{\partial V}{\partial r}$ と $\frac{\partial V}{\partial \theta}$ を計算する。

$\frac{\partial V}{\partial r} = \frac{\partial V}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial r} + \frac{\partial V}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial r} = \frac{\partial V}{\partial x} \cos \theta + \frac{\partial V}{\partial y} \sin \theta$

$\frac{\partial V}{\partial \theta} = \frac{\partial V}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial \theta} + \frac{\partial V}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial \theta} = \frac{\partial V}{\partial x} (-r \sin \theta) + \frac{\partial V}{\partial y} (r \cos \theta) = -r(\frac{\partial V}{\partial x} \sin \theta - \frac{\partial V}{\partial y} \cos \theta)$

(2) 式(8)を導出する。

$x(t) = r(t) \cos \theta(t), y(t) = r(t) \sin \theta(t)$ を時間微分して、$\dot{x}, \dot{y}, \ddot{x}, \ddot{y}$ を計算する。

$\dot{x} = \dot{r} \cos \theta - r \dot{\theta} \sin \theta$

$\dot{y} = \dot{r} \sin \theta + r \dot{\theta} \cos \theta$

$\ddot{x} = \ddot{r} \cos \theta - \dot{r} \dot{\theta} \sin \theta - \dot{r} \dot{\theta} \sin \theta - r \ddot{\theta} \sin \theta - r \dot{\theta}^2 \cos \theta = \ddot{r} \cos \theta - 2 \dot{r} \dot{\theta} \sin \theta - r \ddot{\theta} \sin \theta - r \dot{\theta}^2 \cos \theta$

$\ddot{y} = \ddot{r} \sin \theta + \dot{r} \dot{\theta} \cos \theta + \dot{r} \dot{\theta} \cos \theta + r \ddot{\theta} \cos \theta - r \dot{\theta}^2 \sin \theta = \ddot{r} \sin \theta + 2 \dot{r} \dot{\theta} \cos \theta + r \ddot{\theta} \cos \theta - r \dot{\theta}^2 \sin \theta$

(3) 式(9)を導出する。

式(6)のデカルト座標での運動方程式 $m \ddot{x} = -\frac{\partial V}{\partial x}, m \ddot{y} = -\frac{\partial V}{\partial y}$ に、式(7)と式(8)を代入する。

$m (\ddot{r} \cos \theta - 2 \dot{r} \dot{\theta} \sin \theta - r \ddot{\theta} \sin \theta - r \dot{\theta}^2 \cos \theta) = -\frac{\partial V}{\partial x}$

$m (\ddot{r} \sin \theta + 2 \dot{r} \dot{\theta} \cos \theta + r \ddot{\theta} \cos \theta - r \dot{\theta}^2 \sin \theta) = -\frac{\partial V}{\partial y}$

これらの式に $\cos \theta$ と $\sin \theta$ をそれぞれ掛け合わせ、足し合わせることで、$r$ 方向の運動方程式を得る。また、$-r \sin \theta$ と $r \cos \theta$ をそれぞれ掛け合わせ、足し合わせることで、$\theta$ 方向の運動方程式を得る。

$r$ 方向： $m (\ddot{r} - r \dot{\theta}^2) = -\frac{\partial V}{\partial r}$

$\theta$ 方向： $m (2 \dot{r} \dot{\theta} + r \ddot{\theta}) = -\frac{1}{r} \frac{\partial V}{\partial \theta}$

これは $m (r^2 \ddot{\theta} + 2r \dot{r} \dot{\theta}) = \frac{d}{dt} (m r^2 \dot{\theta})$ に等しい

(4) 角運動量の大きさ $l = m r^2 \dot{\theta}$ が保存されることを示す。

$V$ が $r$ だけの関数 $V(r)$ ならば、$\frac{\partial V}{\partial \theta} = 0$ となる。

したがって、$\frac{d}{dt} (m r^2 \dot{\theta}) = 0$ となり、$l = m r^2 \dot{\theta}$ は時間的に一定となる。これは角運動量が保存されることを意味する。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\partial V}{\partial r} = \frac{\partial V}{\partial x} \cos \theta + \frac{\partial V}{\partial y} \sin \theta$, $\frac{\partial V}{\partial \theta} = -r(\frac{\partial V}{\partial x} \sin \theta - \frac{\partial V}{\partial y} \cos \theta)$

(2) $\dot{x} = \dot{r} \cos \theta - r \dot{\theta} \sin \theta$, $\dot{y} = \dot{r} \sin \theta + r \dot{\theta} \cos \theta$, $\ddot{x} = \ddot{r} \cos \theta - 2 \dot{r} \dot{\theta} \sin \theta - r \ddot{\theta} \sin \theta - r \dot{\theta}^2 \cos \theta$, $\ddot{y} = \ddot{r} \sin \theta + 2 \dot{r} \dot{\theta} \cos \theta + r \ddot{\theta} \cos \theta - r \dot{\theta}^2 \sin \theta$

(3) $m(\ddot{r} - r \dot{\theta}^2) = -\frac{\partial V}{\partial r}$, $m(2 \dot{r} \dot{\theta} + r \ddot{\theta}) = -\frac{1}{r} \frac{\partial V}{\partial \theta}$

(4) $V(r)$ ならば $l = mr^2 \dot{\theta}$ は保存される。