次の4つの極限値を求めます。 1. $\lim_{x \to 2} 3$

1. 問題の内容

次の4つの極限値を求めます。

1. $\lim_{x \to 2} 3$

2. $\lim_{x \to -1} (x^3 - 2x + 3)$

3. $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1}$

4. $\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x} - 1}{x - 1}$

2. 解き方の手順

1. $\lim_{x \to 2} 3$

$x$ が $2$ に近づくとき、定数関数 $3$ の極限は $3$ です。

2. $\lim_{x \to -1} (x^3 - 2x + 3)$

$x$ が $-1$ に近づくとき、多項式関数は連続なので、直接代入できます。

$(-1)^3 - 2(-1) + 3 = -1 + 2 + 3 = 4$

3. $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1}$

$x$ が $1$ に近づくとき、$\frac{x^2 - 1}{x - 1}$ は $\frac{0}{0}$ の不定形になります。

分子を因数分解すると $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$ となるので、

$\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1} (x + 1)$

$x$ が $1$ に近づくとき、$x + 1$ は $1 + 1 = 2$ に近づきます。

4. $\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x} - 1}{x - 1}$

$x$ が $1$ に近づくとき、$\frac{\sqrt{x} - 1}{x - 1}$ は $\frac{0}{0}$ の不定形になります。

分母を $(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)$ と因数分解できます。つまり、$x - 1 = (\sqrt{x})^2 - 1^2 = (\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)$.

$\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x} - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x} - 1}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} = \lim_{x \to 1} \frac{1}{\sqrt{x} + 1}$

$x$ が $1$ に近づくとき、$\sqrt{x} + 1$ は $\sqrt{1} + 1 = 1 + 1 = 2$ に近づきます。よって、

$\lim_{x \to 1} \frac{1}{\sqrt{x} + 1} = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

1. $\lim_{x \to 2} 3 = 3$

2. $\lim_{x \to -1} (x^3 - 2x + 3) = 4$

3. $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} = 2$

4. $\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x} - 1}{x - 1} = \frac{1}{2}$