$x, y$ を実数とする時、$x^2 + 2xy + 2y^2 + 2x + 4y + 1$ の最小値を求める問題です。

1. 問題の内容

$x, y$ を実数とする時、$x^2 + 2xy + 2y^2 + 2x + 4y + 1$ の最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

与えられた式を平方完成させて最小値を求めます。

まず、$x$ について平方完成します。

$x^2 + 2xy + 2y^2 + 2x + 4y + 1 = (x^2 + 2(y+1)x) + 2y^2 + 4y + 1$

$= (x + y + 1)^2 - (y+1)^2 + 2y^2 + 4y + 1$

$= (x + y + 1)^2 - (y^2 + 2y + 1) + 2y^2 + 4y + 1$

$= (x + y + 1)^2 + y^2 + 2y$

次に、$y$ について平方完成します。

$(x + y + 1)^2 + y^2 + 2y = (x + y + 1)^2 + (y^2 + 2y + 1) - 1$

$= (x + y + 1)^2 + (y + 1)^2 - 1$

$(x+y+1)^2 \ge 0$ かつ $(y+1)^2 \ge 0$ であるため、

$(x + y + 1)^2 + (y + 1)^2 - 1 \ge -1$

最小値を取るのは $x+y+1 = 0$ かつ $y+1 = 0$ のときです。

$y = -1$ を $x+y+1 = 0$ に代入すると、$x - 1 + 1 = 0$ より $x = 0$ となります。

したがって、$x = 0, y = -1$ のとき、与えられた式は最小値 $-1$ を取ります。

3. 最終的な答え

-1