1組のトランプから何枚かのカードを選び、6枚ずつ並べると2枚余り、10枚ずつ並べると6枚余る。選んだカードの枚数を求める問題です。

1. 問題の内容

1組のトランプから何枚かのカードを選び、6枚ずつ並べると2枚余り、10枚ずつ並べると6枚余る。選んだカードの枚数を求める問題です。

2. 解き方の手順

選んだカードの枚数を $x$ とします。

6枚ずつ並べると2枚余るので、$x$ は $6n + 2$ （$n$ は整数）と表すことができます。

10枚ずつ並べると6枚余るので、$x$ は $10m + 6$ （$m$ は整数）と表すことができます。

したがって、以下の式が成り立ちます。

$x = 6n + 2 = 10m + 6$

この式を整理すると、

$6n - 10m = 4$

$3n - 5m = 2$

この不定方程式を解きます。

$3n = 5m + 2$

$n = \frac{5m + 2}{3}$

$n$ が整数になるためには、$5m+2$が3の倍数になる必要があります。

$m=2$のとき、$5m+2 = 12$となり、3の倍数になります。

このとき、$n = \frac{12}{3} = 4$ です。

したがって、$x = 6n + 2 = 6 \times 4 + 2 = 26$

また、$x = 10m + 6 = 10 \times 2 + 6 = 26$

他の解を探すために、$3n - 5m = 2$ の特殊解を $(n,m)=(4,2)$ とすると、一般解は

$n = 4 + 5k$

$m = 2 + 3k$ （$k$ は整数）

$x = 6n + 2 = 6(4 + 5k) + 2 = 24 + 30k + 2 = 26 + 30k$

$x = 10m + 6 = 10(2 + 3k) + 6 = 20 + 30k + 6 = 26 + 30k$

トランプの枚数は最大52枚なので、$x \le 52$。

$26 + 30k \le 52$

$30k \le 26$

$k \le \frac{26}{30} < 1$

$k=0$のとき、$x = 26$

$k=1$ のとき、$x = 26 + 30 = 56 > 52$ なので不適。

よって、選んだカードの枚数は26枚です。

3. 最終的な答え

26