曲線 $y = -x^3 + x^2 + 2x + 4$ 上にあり、$x$ 座標が 3 である点における接線の方程式を求めよ。求める接線の方程式は $y = \text{(1)}x + \text{(2)}$ の形で表す。

1. 問題の内容

曲線 $y = -x^3 + x^2 + 2x + 4$ 上にあり、$x$ 座標が 3 である点における接線の方程式を求めよ。求める接線の方程式は $y = \text{(1)}x + \text{(2)}$ の形で表す。

2. 解き方の手順

まず、$x=3$ のときの $y$ 座標を求めます。

$y = -(3)^3 + (3)^2 + 2(3) + 4 = -27 + 9 + 6 + 4 = -8$

したがって、接点は $(3, -8)$ となります。

次に、導関数 $y'$ を求めます。

$y' = -3x^2 + 2x + 2$

次に、$x=3$ における導関数の値を求めます。これは接線の傾きに等しくなります。

$y'(3) = -3(3)^2 + 2(3) + 2 = -3(9) + 6 + 2 = -27 + 6 + 2 = -19$

したがって、接線の傾きは $-19$ となります。

接線の式は、$y - y_1 = m(x - x_1)$ で表されます。ここで $(x_1, y_1)$ は接点であり、$m$ は接線の傾きです。

$(x_1, y_1) = (3, -8)$、$m = -19$ なので、

$y - (-8) = -19(x - 3)$

$y + 8 = -19x + 57$

$y = -19x + 57 - 8$

$y = -19x + 49$

3. 最終的な答え

(1) $-19$

(2) $49$

したがって、接線の方程式は $y = -19x + 49$ です。