(1) $\sqrt{2}$ と $\sqrt{3}$ が無理数であることを示す。 (2) $p$, $q$, $\sqrt{2}p + \sqrt{3}q$ がすべて有理数であるとする。このとき、$p = q = 0$ であることを示す。

1. 問題の内容

(1) $\sqrt{2}$ と $\sqrt{3}$ が無理数であることを示す。

(2) $p$, $q$, $\sqrt{2}p + \sqrt{3}q$ がすべて有理数であるとする。このとき、$p = q = 0$ であることを示す。

2. 解き方の手順

(1) $\sqrt{2}$ が無理数であることの証明：

$\sqrt{2}$ が有理数であると仮定する。すると、互いに素な整数 $m, n$ (ただし、$n \neq 0$) を用いて、 $\sqrt{2} = \frac{m}{n}$ と表せる。

このとき、 $2 = \frac{m^2}{n^2}$ となり、$m^2 = 2n^2$ である。

したがって、$m^2$ は偶数であるから、$m$ も偶数である。そこで、$m = 2k$ ($k$ は整数) とおくと、 $(2k)^2 = 2n^2$ より $4k^2 = 2n^2$, すなわち $n^2 = 2k^2$ となる。

ゆえに、$n^2$ は偶数であるから、$n$ も偶数である。

これは、$m$ と $n$ が互いに素であるという仮定に矛盾する。

したがって、$\sqrt{2}$ は無理数である。

$\sqrt{3}$ が無理数であることの証明：

$\sqrt{3}$ が有理数であると仮定する。すると、互いに素な整数 $m, n$ (ただし、$n \neq 0$) を用いて、 $\sqrt{3} = \frac{m}{n}$ と表せる。

このとき、 $3 = \frac{m^2}{n^2}$ となり、$m^2 = 3n^2$ である。

したがって、$m^2$ は3の倍数であるから、$m$ も3の倍数である。そこで、$m = 3k$ ($k$ は整数) とおくと、 $(3k)^2 = 3n^2$ より $9k^2 = 3n^2$, すなわち $n^2 = 3k^2$ となる。

ゆえに、$n^2$ は3の倍数であるから、$n$ も3の倍数である。

これは、$m$ と $n$ が互いに素であるという仮定に矛盾する。

したがって、$\sqrt{3}$ は無理数である。

(2) $p$, $q$, $\sqrt{2}p + \sqrt{3}q$ がすべて有理数であるとする。

$\sqrt{2}p + \sqrt{3}q = r$ ($r$ は有理数) とおく。

この式の両辺を2乗すると、

$(\sqrt{2}p + \sqrt{3}q)^2 = r^2$

$2p^2 + 2\sqrt{6}pq + 3q^2 = r^2$

$2\sqrt{6}pq = r^2 - 2p^2 - 3q^2$

$r^2 - 2p^2 - 3q^2$ は有理数であるから、もし $pq \neq 0$ ならば、$\sqrt{6}$ は有理数となる。

しかし、$\sqrt{6}$ は無理数であるから、$pq = 0$ でなければならない。

(i) $p = 0$ のとき、$\sqrt{3}q = r$ である。もし、$q \neq 0$ ならば、$\sqrt{3} = \frac{r}{q}$ となり、$\sqrt{3}$ は有理数となるが、これは$\sqrt{3}$ が無理数であることに矛盾する。したがって、$q = 0$ でなければならない。

(ii) $q = 0$ のとき、$\sqrt{2}p = r$ である。もし、$p \neq 0$ ならば、$\sqrt{2} = \frac{r}{p}$ となり、$\sqrt{2}$ は有理数となるが、これは$\sqrt{2}$ が無理数であることに矛盾する。したがって、$p = 0$ でなければならない。

いずれの場合も $p = q = 0$ となる。

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{2}$ と $\sqrt{3}$ は無理数である。（証明は上記参照）

(2) $p=q=0$