自然数の列を、第n群に$2^{n-1}$個の数が入るように群に分ける。 (1) 第n群の最初の数をnの式で表す。 (2) 第n群に入るすべての数の和Sを求める。

1. 問題の内容

自然数の列を、第n群に$2^{n-1}$個の数が入るように群に分ける。

(1) 第n群の最初の数をnの式で表す。

(2) 第n群に入るすべての数の和Sを求める。

2. 解き方の手順

(1) 第n群の最初の数を求める。

第n群の最初の数は、第(n-1)群までの項数の和に1を加えたものである。

第k群には$2^{k-1}$個の数が入るので、第(n-1)群までの項数の和は、

$\sum_{k=1}^{n-1} 2^{k-1} = 1 + 2 + 4 + \cdots + 2^{n-2}$

これは初項1、公比2の等比数列の和なので、

$\frac{1 \cdot (2^{n-1} - 1)}{2 - 1} = 2^{n-1} - 1$

したがって、第n群の最初の数は$2^{n-1} - 1 + 1 = 2^{n-1}$

(2) 第n群に入るすべての数の和Sを求める。

第n群の最初の数は$2^{n-1}$であり、第n群には$2^{n-1}$個の数が入る。

したがって、第n群の最後の数は$2^{n-1} + 2^{n-1} - 1 = 2^n - 1$

第n群に入る数は等差数列をなすので、その和Sは

$S = \frac{2^{n-1} \cdot (2^{n-1} + 2^n - 1)}{2} = 2^{n-2} (2^{n-1} + 2^n - 1) = 2^{n-2} (2^{n-1} + 2 \cdot 2^{n-1} - 1) = 2^{n-2} (3 \cdot 2^{n-1} - 1) = 3 \cdot 2^{2n-3} - 2^{n-2}$

3. 最終的な答え

(1) 第n群の最初の数: $2^{n-1}$

(2) 第n群に入るすべての数の和S: $3 \cdot 2^{2n-3} - 2^{n-2}$