(1) $\sqrt{2}$ と $3$ が無理数であることを示す。 (2) $p, q, \sqrt{2}p + \sqrt{3}q$ がすべて有理数であるとき、$p=q=0$ であることを示す。

1. 問題の内容

(1) $\sqrt{2}$ と $3$ が無理数であることを示す。

(2) $p, q, \sqrt{2}p + \sqrt{3}q$ がすべて有理数であるとき、$p=q=0$ であることを示す。

2. 解き方の手順

(1)

$\sqrt{2}$ が無理数であることの証明：

$\sqrt{2}$ が有理数であると仮定すると、互いに素な整数 $m, n$ を用いて $\sqrt{2} = \frac{m}{n}$ と表せる。

両辺を2乗すると、$2 = \frac{m^2}{n^2}$。

よって、$m^2 = 2n^2$ となる。

これは、$m^2$ が偶数であることを意味し、$m$ も偶数でなければならない。

そこで、$m = 2k$ （$k$ は整数）とおくと、$m^2 = (2k)^2 = 4k^2$。

これを $m^2 = 2n^2$ に代入すると、$4k^2 = 2n^2$ となり、$n^2 = 2k^2$ が得られる。

これは、$n^2$ が偶数であることを意味し、$n$ も偶数でなければならない。

したがって、$m$ と $n$ はともに偶数となり、互いに素であるという仮定に矛盾する。

ゆえに、$\sqrt{2}$ は無理数である。

$3$ が無理数であることの証明：

$3$ が有理数であると仮定する。すると、ある整数$m, n$ ($n \ne 0$) によって、$3 = \frac{m}{n}$ と表せる。これは、 $3n=m$ が成り立つということである。$m,n$ が整数であるから、これは有理数である。

しかし、$3$ は整数であるので、これは有理数である。

問題文では、$3$ が無理数であることを示せ、とあるが、$3$ は有理数である。これは問題文の誤りであると考えられる。

ここでは、$3$ ではなく、$\sqrt{3}$ が無理数であることを証明する。

$\sqrt{3}$ が有理数であると仮定すると、互いに素な整数 $m, n$ を用いて $\sqrt{3} = \frac{m}{n}$ と表せる。

両辺を2乗すると、$3 = \frac{m^2}{n^2}$。

よって、$m^2 = 3n^2$ となる。

これは、$m^2$ が3の倍数であることを意味し、$m$ も3の倍数でなければならない。

そこで、$m = 3k$ （$k$ は整数）とおくと、$m^2 = (3k)^2 = 9k^2$。

これを $m^2 = 3n^2$ に代入すると、$9k^2 = 3n^2$ となり、$n^2 = 3k^2$ が得られる。

これは、$n^2$ が3の倍数であることを意味し、$n$ も3の倍数でなければならない。

したがって、$m$ と $n$ はともに3の倍数となり、互いに素であるという仮定に矛盾する。

ゆえに、$\sqrt{3}$ は無理数である。

(2)

$p, q, \sqrt{2}p + \sqrt{3}q$ がすべて有理数であるとする。

$\sqrt{2}p + \sqrt{3}q = r$ （$r$ は有理数）とおく。

$p, q, r$ は有理数である。

もし $q \ne 0$ であると仮定すると、

$\sqrt{3}q = r - \sqrt{2}p$

$\sqrt{3} = \frac{r}{q} - \sqrt{2} \frac{p}{q}$

$\sqrt{3} + \sqrt{2} \frac{p}{q} = \frac{r}{q}$

両辺を2乗すると、

$3 + 2\sqrt{6} \frac{p}{q} + 2\frac{p^2}{q^2} = \frac{r^2}{q^2}$

$2\sqrt{6} \frac{p}{q} = \frac{r^2}{q^2} - 3 - 2\frac{p^2}{q^2}$

$\sqrt{6} = \frac{q}{2p} (\frac{r^2}{q^2} - 3 - 2\frac{p^2}{q^2}) = \frac{r^2 - 3q^2 - 2p^2}{2pq}$

ここで、右辺は有理数であるから、$\sqrt{6}$ が有理数となる。しかし、$\sqrt{6}$ は無理数なので矛盾する。

したがって、$q=0$ でなければならない。

すると、$\sqrt{2}p + \sqrt{3}q = \sqrt{2}p = r$ となる。

もし $p \ne 0$ であると仮定すると、$\sqrt{2} = \frac{r}{p}$ となり、$\sqrt{2}$ が有理数となって矛盾する。

したがって、$p=0$ でなければならない。

よって、$p = q = 0$ である。

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{2}$ は無理数である。（証明は上記参照）

もし問題文が正しければ、$3$ は有理数である。（証明は上記参照）

もし問題文が誤りで、$\sqrt{3}$ が無理数であることの証明を求めるならば、$\sqrt{3}$ は無理数である。（証明は上記参照）

(2) $p = q = 0$