問題は曲線 $y = x^2 - 4x$ に関する接線を求めるものです。 (1) 曲線上の点 $(-1, 3)$ における接線を求めます。 (2) 傾きが $8$ である接線を求めます。

1. 問題の内容

問題は曲線 $y = x^2 - 4x$ に関する接線を求めるものです。

(1) 曲線上の点 $(-1, 3)$ における接線を求めます。

(2) 傾きが $8$ である接線を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 曲線 $y = x^2 - 4x$ を微分して、導関数を求めます。

$y' = 2x - 4$

点 $(-1, 3)$ における接線の傾きは、 $x = -1$ を代入して、

$y'(-1) = 2(-1) - 4 = -2 - 4 = -6$

接線の式は、傾き $m = -6$、点 $(-1, 3)$ を通るので、

$y - 3 = -6(x - (-1))$

$y - 3 = -6(x + 1)$

$y - 3 = -6x - 6$

$y = -6x - 6 + 3$

$y = -6x - 3$

よって、$y = -6x - 3$

(2) 傾きが $8$ である接線を求めます。

$y' = 2x - 4 = 8$

$2x = 12$

$x = 6$

$x = 6$ のときの $y$ 座標は、 $y = 6^2 - 4(6) = 36 - 24 = 12$

よって、接点は $(6, 12)$

傾き $8$、点 $(6, 12)$ を通る接線は、

$y - 12 = 8(x - 6)$

$y - 12 = 8x - 48$

$y = 8x - 48 + 12$

$y = 8x - 36$

よって、$y = 8x - 36$

3. 最終的な答え

(1) $y = -6x - 3$

(2) $y = 8x - 36$