曲線 $y = x^3 - 4x$ について、以下の接線の方程式を求める問題です。 (1) 曲線上の点 $(-1, 3)$ における接線 (2) 傾きが $8$ である接線

1. 問題の内容

曲線 $y = x^3 - 4x$ について、以下の接線の方程式を求める問題です。

(1) 曲線上の点 $(-1, 3)$ における接線

(2) 傾きが $8$ である接線

2. 解き方の手順

(1) 曲線 $y = x^3 - 4x$ 上の点 $(-1, 3)$ における接線を求めます。

まず、導関数 $y'$ を計算します。

$y' = 3x^2 - 4$

点 $(-1, 3)$ における接線の傾きは、$y'(-1)$ です。

$y'(-1) = 3(-1)^2 - 4 = 3 - 4 = -1$

したがって、接線の傾きは $-1$ です。

接線の方程式は、$y - y_1 = m(x - x_1)$ で表されます。ここで $(x_1, y_1) = (-1, 3)$ で、$m = -1$ です。

$y - 3 = -1(x - (-1))$

$y - 3 = -1(x + 1)$

$y - 3 = -x - 1$

$y = -x + 2$

(2) 傾きが $8$ である接線を求めます。

傾きが $8$ であるということは、$y' = 8$ であるということです。

$3x^2 - 4 = 8$

$3x^2 = 12$

$x^2 = 4$

$x = \pm 2$

$x = 2$ のとき、$y = 2^3 - 4(2) = 8 - 8 = 0$

点 $(2, 0)$ における接線の方程式は、$y - 0 = 8(x - 2)$

$y = 8x - 16$

$x = -2$ のとき、$y = (-2)^3 - 4(-2) = -8 + 8 = 0$

点 $(-2, 0)$ における接線の方程式は、$y - 0 = 8(x - (-2))$

$y = 8(x + 2)$

$y = 8x + 16$

3. 最終的な答え

(1) $y = -x + 2$

(2) $y = 8x - 16$ または $y = 8x + 16$