(1) 7人を3人と4人の2組に分ける方法は何通りあるか。また、7人を任意の人数の2組に分ける方法は何通りあるか。 (2) $m^2 - n^2 = 2025$ を満たす自然数の組$(m, n)$は何組あるか。そのうち、$m$が最小のものは何か。

1. 問題の内容

(1) 7人を3人と4人の2組に分ける方法は何通りあるか。また、7人を任意の人数の2組に分ける方法は何通りあるか。

(2) $m^2 - n^2 = 2025$ を満たす自然数の組$(m, n)$は何組あるか。そのうち、$m$が最小のものは何か。

2. 解き方の手順

(1)

* 7人を3人と4人の2組に分ける方法:

7人から3人を選ぶ組み合わせの数を求めれば良いので、${}_7C_3 = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$通り。

* 7人を任意の人数の2組に分ける方法:

1人を0人と7人に分ける、2人を1人と6人に分ける、3人を2人と5人に分ける、4人を3人と4人に分ける場合を考える。

各々、${}_7C_0$, ${}_7C_1$, ${}_7C_2$, ${}_7C_3$通りの分け方がある。

しかし、例えば1人と6人に分けるのと6人と1人に分けるのは同じ分け方なので、4人を3人と4人に分ける場合を除いて2で割る必要がある。

${}_7C_0 = 1$, ${}_7C_1 = 7$, ${}_7C_2 = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$, ${}_7C_3 = 35$。

したがって、$1 + 7 + 21 + 35 = 64$通りとなる。

これは、$2^{7-1}$と考えることもできる。7人それぞれがどちらの組に入るかを考えると$2^7=128$通り。しかし、片方の組に全員入ってしまう場合を除き、組の区別はないため2で割る。また、空の組ができる場合は除く必要があるので、実質的に2組に分かれる場合は$2^{7-1}-1 = 63$通りとなる。これに、片方の組が空の場合（0人と7人）の1通りを足して、計64通り。

もしくは、n人の任意の分け方は、$2^{n-1}$となる。したがって、$2^{7-1} = 2^6 = 64$通り。

(2)

$m^2 - n^2 = (m+n)(m-n) = 2025 = 3^4 \times 5^2$

$m$と$n$は自然数なので、$m+n > 0$かつ$m-n > 0$

また、$m+n > m-n$が成り立つ。

$2025 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 5 \times 5$

$2025$の約数の組を探す。

$2025 = 1 \times 2025 = 3 \times 675 = 5 \times 405 = 9 \times 225 = 15 \times 135 = 25 \times 81 = 27 \times 75 = 45 \times 45$

ここで、$m+n$と$m-n$の偶奇は一致する必要がある。なぜなら、$m = \frac{(m+n)+(m-n)}{2}$、$n = \frac{(m+n)-(m-n)}{2}$であり、両方が自然数になるためには$m+n$と$m-n$の和と差が偶数になる必要があり、そのためには$m+n$と$m-n$が共に偶数か共に奇数でなければならないからである。$2025$は奇数なので、全ての約数は奇数である。したがって、全ての約数の組は条件を満たす。

$m+n = a$, $m-n = b$とすると、$m = \frac{a+b}{2}$, $n = \frac{a-b}{2}$となる。

* $m+n = 2025$, $m-n = 1$のとき、$m = \frac{2026}{2} = 1013$, $n = \frac{2024}{2} = 1012$

* $m+n = 675$, $m-n = 3$のとき、$m = \frac{678}{2} = 339$, $n = \frac{672}{2} = 336$

* $m+n = 405$, $m-n = 5$のとき、$m = \frac{410}{2} = 205$, $n = \frac{400}{2} = 200$

* $m+n = 225$, $m-n = 9$のとき、$m = \frac{234}{2} = 117$, $n = \frac{216}{2} = 108$

* $m+n = 135$, $m-n = 15$のとき、$m = \frac{150}{2} = 75$, $n = \frac{120}{2} = 60$

* $m+n = 81$, $m-n = 25$のとき、$m = \frac{106}{2} = 53$, $n = \frac{56}{2} = 28$

* $m+n = 75$, $m-n = 27$のとき、$m = \frac{102}{2} = 51$, $n = \frac{48}{2} = 24$

* $m+n = 45$, $m-n = 45$のとき、$m = \frac{90}{2} = 45$, $n = \frac{0}{2} = 0$（$n$は自然数でないので不適）

したがって、$(m, n)$の組は7組あり、$m$が最小のものは$(51, 24)$。

3. 最終的な答え

(1) 35通り, 64通り

(2) 7組, (51, 24)