$\theta$ の動径が第4象限にあり、$\sin{\theta} = -\frac{1}{3}$ のとき、$\cos{\theta}$ と $\tan{\theta}$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$\theta$ の動径が第4象限にあり、$\sin{\theta} = -\frac{1}{3}$ のとき、$\cos{\theta}$ と $\tan{\theta}$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、三角関数の相互関係である $\sin^2{\theta} + \cos^2{\theta} = 1$ を用いて $\cos{\theta}$ を求めます。

$\sin{\theta} = -\frac{1}{3}$ を代入すると、

$(-\frac{1}{3})^2 + \cos^2{\theta} = 1$

$\frac{1}{9} + \cos^2{\theta} = 1$

$\cos^2{\theta} = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$

$\cos{\theta} = \pm\sqrt{\frac{8}{9}} = \pm\frac{2\sqrt{2}}{3}$

ここで、$\theta$ は第4象限の角なので、$\cos{\theta}$ は正の値をとります。したがって、

$\cos{\theta} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

次に、$\tan{\theta} = \frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}$ を用いて $\tan{\theta}$ を求めます。

$\tan{\theta} = \frac{-\frac{1}{3}}{\frac{2\sqrt{2}}{3}} = -\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2\sqrt{2}} = -\frac{1}{2\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{4}$

3. 最終的な答え

$\cos{\theta} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

$\tan{\theta} = -\frac{\sqrt{2}}{4}$