$\theta$の動径が第3象限にあり、$\tan \theta = 3$のとき、$\sin \theta$と$\cos \theta$の値を求めよ。

1. 問題の内容

$\theta$の動径が第3象限にあり、$\tan \theta = 3$のとき、$\sin \theta$と$\cos \theta$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

$\theta$は第3象限の角なので、$\sin \theta < 0$かつ$\cos \theta < 0$である。

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$であることを利用する。

また、三角関数の相互関係

$$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$$

を利用する。

$\tan \theta = 3$より、$\frac{\sin \theta}{\cos \theta} = 3$なので、$\sin \theta = 3 \cos \theta$となる。

これを$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$に代入すると、

$$(3\cos \theta)^2 + \cos^2 \theta = 1$$

$$9 \cos^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$$

$$10 \cos^2 \theta = 1$$

$$\cos^2 \theta = \frac{1}{10}$$

したがって、$\cos \theta = \pm \frac{1}{\sqrt{10}}$となる。

$\theta$は第3象限の角なので、$\cos \theta < 0$。

よって、

$$\cos \theta = -\frac{1}{\sqrt{10}} = -\frac{\sqrt{10}}{10}$$

$\sin \theta = 3 \cos \theta$より、

$$\sin \theta = 3 \times \left(-\frac{1}{\sqrt{10}}\right) = -\frac{3}{\sqrt{10}} = -\frac{3\sqrt{10}}{10}$$

3. 最終的な答え

$\sin \theta = -\frac{3\sqrt{10}}{10}$

$\cos \theta = -\frac{\sqrt{10}}{10}$