問題62は、6400を素因数分解した時の指数m, nを求め、6400の正の約数の個数と、6400の正の約数のうち5の倍数のものの総和を求める問題です。 問題64は、整数a, bについて、aを4で割ると3余り、bを8で割ると2余るとき、a+b, 2a-3b, a^2 - b^2を4で割った余りをそれぞれ求める問題です。

1. 問題の内容

問題62は、6400を素因数分解した時の指数m, nを求め、6400の正の約数の個数と、6400の正の約数のうち5の倍数のものの総和を求める問題です。

問題64は、整数a, bについて、aを4で割ると3余り、bを8で割ると2余るとき、a+b, 2a-3b, a^2 - b^2を4で割った余りをそれぞれ求める問題です。

2. 解き方の手順

問題62

* 6400を素因数分解します。

$6400 = 64 \times 100 = 2^6 \times (2^2 \times 5^2) = 2^8 \times 5^2$

よって、$m = 8$, $n = 2$

* 6400の正の約数の個数を求めます。

正の約数の個数は $(8+1)(2+1) = 9 \times 3 = 27$

* 6400の正の約数で5の倍数であるものの総和を求めます。

6400の正の約数の総和は

$(1+2+2^2+2^3+2^4+2^5+2^6+2^7+2^8)(1+5+5^2) = (1+2+4+8+16+32+64+128+256)(1+5+25) = 511 \times 31 = 15841$

5の倍数であるものの総和は、全体から5を持たないものを引いても求められますが、5をくくりだして考えます。

$2^8 \times 5^2$の約数で5の倍数の総和は

$(1+2+2^2+...+2^8)(5+5^2) = 511 \times 30 = 15330$

問題64

* aを4で割ると3余るので、$a = 4k + 3$ (kは整数) と表せる。

* bを8で割ると2余るので、$b = 8l + 2$ (lは整数) と表せる。

* $a+b = (4k+3) + (8l+2) = 4k+8l+5 = 4(k+2l+1) + 1$

よって、a+bを4で割った余りは1

* $2a-3b = 2(4k+3) - 3(8l+2) = 8k+6 - 24l - 6 = 8k - 24l = 4(2k-6l)$

よって、2a-3bを4で割った余りは0

* $a^2 - b^2 = (4k+3)^2 - (8l+2)^2 = (16k^2 + 24k + 9) - (64l^2 + 32l + 4) = 16k^2 + 24k + 9 - 64l^2 - 32l - 4 = 16k^2 + 24k - 64l^2 - 32l + 5 = 4(4k^2+6k-16l^2-8l+1) + 1$

よって、$a^2-b^2$を4で割った余りは1

3. 最終的な答え

問題62

m = 8

n = 2

6400の正の約数は全部で 27 個ある。

6400の正の約数で5の倍数であるものすべての和は 15330 である。

問題64

a+bを4で割ると余りは 1 であり、2a-3bを4で割ると余りは 0 であり、$a^2-b^2$を4で割ると余りは 1 である。