$\triangle OAB$ において、辺 $OA$ を $2:1$ に内分する点を $C$、辺 $OB$ を $3:2$ に内分する点を $D$ とする。線分 $AD$ と $BC$ の交点を $E$ とするとき、$\overrightarrow{OE}$ を $\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ を用いて表せ。ただし、$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}$ とする。

1. 問題の内容

$\triangle OAB$ において、辺 $OA$ を $2:1$ に内分する点を $C$、辺 $OB$ を $3:2$ に内分する点を $D$ とする。線分 $AD$ と $BC$ の交点を $E$ とするとき、$\overrightarrow{OE}$ を $\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ を用いて表せ。ただし、$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}$ とする。

2. 解き方の手順

まず、点 $E$ が線分 $AD$ 上にあることから、実数 $s$ を用いて、

$\overrightarrow{OE} = (1-s)\overrightarrow{OA} + s\overrightarrow{OD}$

と表せる。$\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{OD} = \frac{3}{5}\overrightarrow{b}$ であるから、

$\overrightarrow{OE} = (1-s)\overrightarrow{a} + \frac{3}{5}s\overrightarrow{b}$

次に、点 $E$ が線分 $BC$ 上にあることから、実数 $t$ を用いて、

$\overrightarrow{OE} = (1-t)\overrightarrow{OB} + t\overrightarrow{OC}$

と表せる。$\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{b}$、$\overrightarrow{OC} = \frac{2}{3}\overrightarrow{a}$ であるから、

$\overrightarrow{OE} = \frac{2}{3}t\overrightarrow{a} + (1-t)\overrightarrow{b}$

したがって、

$(1-s)\overrightarrow{a} + \frac{3}{5}s\overrightarrow{b} = \frac{2}{3}t\overrightarrow{a} + (1-t)\overrightarrow{b}$

$\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ は一次独立なので、係数を比較して、

$1-s = \frac{2}{3}t$

$\frac{3}{5}s = 1-t$

これらの連立方程式を解く。一つ目の式より、$s = 1 - \frac{2}{3}t$。これを二つ目の式に代入すると、

$\frac{3}{5}(1 - \frac{2}{3}t) = 1-t$

$\frac{3}{5} - \frac{2}{5}t = 1-t$

$\frac{3}{5}t = \frac{2}{5}$

$t = \frac{2}{3}$

よって、$s = 1 - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$

したがって、

$\overrightarrow{OE} = (1-\frac{5}{9})\overrightarrow{a} + \frac{3}{5}\cdot\frac{5}{9}\overrightarrow{b} = \frac{4}{9}\overrightarrow{a} + \frac{1}{3}\overrightarrow{b}$

または

$\overrightarrow{OE} = \frac{2}{3}\cdot\frac{2}{3}\overrightarrow{a} + (1-\frac{2}{3})\overrightarrow{b} = \frac{4}{9}\overrightarrow{a} + \frac{1}{3}\overrightarrow{b}$

3. 最終的な答え

$\overrightarrow{OE} = \frac{4}{9}\overrightarrow{a} + \frac{1}{3}\overrightarrow{b}$